空间向量学习知识重点归纳情况总结

下面是小编为大家整理的空间向量学习知识重点归纳情况总结,供大家参考。

　空间向量知识点归纳总结 知识要点。

　1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

　注：（1）向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

　（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

　2. 空间向量的运算。

　定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

　OB OA AB a b     ; BA OA OB a b     ; ( ) OP a R    

　运算律：⑴加法交换律：

　a b b a   

　⑵加法结合律：

　) ( ) ( c b a c b a     

　⑶数乘分配律：

　b a b a      ) (

　 3. 共线向量。

　（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a平行于 b，记作 b a// 。

　当我们说向量 a、 b共线（或 a// b）时，表示 a、 b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

　（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、 b（ b≠ 0）， a// b存在实数 λ，使 a＝λ b。

　4. 共面向量

　（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

　说明：空间任意的两向量都是共面的。

　（2）共面向量定理：如果两个向量 , a b 不共线， p 与向量 , a b 共面的条件是存在实数, x y 使 p xa yb   。

　5. 空间向量基本定理：如果三个向量 , , a b c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 , , x y z ，使 p xa yb zc    。

　若三向量 , , a b c 不共面，我们把 { , , } a b c 叫做空间的一个基底， , , a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

　推论：设 , , , O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有序实数, , x y z ，使 OP xOA yOB zOC    。

　6. 空间向量的直角坐标系：

　（1）空间直角坐标系中的坐标：

　在空间直角坐标系 O xyz  中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 ( , , ) x y z ，使

　zk yi xi OA    ，有序实数组 ( , , ) x y z 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz  中的坐标，记作 ( , , ) A x y z ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。

　 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1 ，这个基底叫单位正交基底，用{ , , } i j k 表示。

　（3）空间向量的直角坐标运算律：

　①若1 2 3( , , ) a a a a  ，1 2 3( , , ) b b b b  ，则1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b a b      ， 1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b a b      ，1 2 3( , , )( ) a a a a R        ，

　1 1 2 2 3 3a b ab a b a b     ， 1 1 2 2 3 3// , , ( ) a b a b a b a b R          ，

　1 1 2 2 3 30 a b ab a b a b      。

　②若1 1 1( , , ) A x y z ，2 2 2( , , ) B x y z ，则2 1 2 1 2 1( , , ) AB x x y y z z     。

　一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

　（4）模长公式：若1 2 3( , , ) a a a a  ，1 2 3( , , ) b b b b  ， 则2 2 21 2 3| | a a a a a a      ，2 2 21 2 3| | b b b b b b     

　（5）夹角公式：1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3cos| | | |ab a b a b a ba ba ba a a b b b       。

　（6）两点间的距离公式：若1 1 1( , , ) A x y z ，2 2 2( , , ) B x y z ， 则22 2 22 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( ) AB AB x x y y z z        ， 或2 2 2, 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A Bd x x y y z z      

　7. 空间向量的数量积。

　（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 , a b ，在空间任取一点 O ，作, OA a OB b   ，则 AOB  叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 , a b   ；且规定 0 , a b    ，显然有 , , a b b a    ；若 ,2a b  ，则称 a 与 b 互相垂直，记作：

　a b  。

　（2）向量的模：设 OA a  ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作：

　| | a 。

　（3）向量的数量积：已知向量 , a b ，则 | | | | cos , a b a b     叫做 , a b 的数量积，记作 a b  ，即 a b   | | | | cos , a b a b     。

　（4）空间向量数量积的性质：

　① | |cos , a e a a e     。② 0 a b a b     。③2| | a a a   。

　（5）空间向量数量积运算律：

　① ( ) ( ) ( ) a b a b a b         。② a b b a    （交换律）。

　③ ( ) a b c a b a c       （分配律）。

　（6）：空间向量的坐标运算：

　1.向量的直角坐标运算 设 a ＝1 2 3( , , ) a a a ， b ＝1 2 3( , , ) b b b 则 (1) a ＋ b ＝1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b    ；

　(2) a － b ＝1 1 2 2 3 3( , , ) a b a b a b    ； (3)λ a ＝1 2 3( , , ) a a a   

　(λ∈R)；

　(4) a · b ＝1 1 2 2 3 3ab a b a b   ； 2.设 A1 1 1( , , ) x y z ，B2 2 2( , , ) x y z ，则 AB OB OA   = 2 1 2 1 2 1( , , ) x x y y z z    . 3、设1 1 1( , , ) a x y z r，2 2 2( , , ) b x y z r，则 a br rP  ( 0) a b b   r r r r；

　a b r r 0 a b  r r1 2 1 2 1 20 x x y y z z    . 4.夹角公式 设 a ＝1 2 3( , , ) a a a ， b ＝1 2 3( , , ) b b b ，则11 2 2 332 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3cos ,ab ab aba ba a a b b b     . 5．异面直线所成角 cos |cos , | a b  r r=1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2| | | || | | |x x y y z z a ba b x y z x y z       r rr r . 6．平面外一点 p 到平面  的距离

　已知 AB 为平面  的一条斜线， n 为平面  的一个法 向量， A 到平面  的距离为：| || |AB ndn

　 【典型例题】

　例 1. 已知平行六面体 ABCD－ D C B A    ，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

　⑴ AB BC  ；

　 ⑵ AB ADAA  ；

　⑶12AB ADCC  ； ⑷1( )3AB ADAA  。

　例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 , , A B C ，问满足向量式：

　OP xOA yOB zOC    （其中 1 x y z    ）的四点 , , , P A B C 是否共面？

　例 3. 已知空间四边形 OABC ，其对角线 , OB AC ， , M N 分别是对边 , OA BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 2 MG GN  ，用基底向量 , , OA OB OC 表示 向量 OG 。

　 αnGMC"B" A"D"DA BC

　例 4. 如图，在空间四边形 OABC 中， 8 OA  ， 6 AB  ， 4 AC  ， 5 BC  ， 45 OAC   ，60 OAB   ，求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。

　 说明：由图形知向量的夹角易出错，如 , 135 OA AC   易错写成 , 45 OA AC   ，切记！

　例 5. 长方体1 1 1 1ABCD ABC D  中， 4 AB BC   ， E 为1 1AC 与1 1B D 的交点， F 为1BC与1BC 的交点，又 AF BE  ，求长方体的高1BB 。

　 空间向量与立体几何练习题

　一、选择题

　1.如图，棱长为 2 的正方体1 1 1 1ABCD ABCD  在空间直角坐标 系中，若 , E F 分别是1, BC DD 中点，则 EF 的坐标为（

　 ）

　A. (1,2, 1) 

　B. ( 1,2, 1)  

　C. ( 1, 2,1)  

　 D. (1, 2, 1)  

　2．如图， ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 是正方体， B 1 E 1 ＝ D 1 F 1 ＝41 1 BA，则 BE 1 与 DF 1所成角的余弦值是（

　）

　A ．1715

　B．21

　C．178 D．23 3.在四棱锥 P ABCD  中，底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 中点，若 PA a  ， PB b  ， PC c  ，则 BE  （

　 ）

　A.1 1 12 2 2a b c  

　B.1 1 12 2 2a b c  

　C.1 3 12 2 2a b c  

　D.1 1 32 2 2a b c  

　yxzFEC 1 D 1CD(O)B 1A 1A B图 图

　O

　A

　B

　C

　二、填空题

　4.若点 (1,2,3) A , ( 3,2,7) B  ,且 0 AC BC   ,则点 C 的坐标为______. 5．在正方体1 1 1 1ABCD ABCD  中，直线 AD 与平面1 1ABC 夹角的余弦值为_____. 三、解答题

　1、在正四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB 1 与底面 ABCD 所成的角为4， （1）求证1 1ABC BD 面 （2）求二面角1B AC B   的正切值

　 2．在三棱锥 P ABC  中， 3 AB AC  

　4 AP  , PA ABC 面 , 90 BAC    , D 是 PA 中点,点 E 在 BC 上,且 2 BE CE  ,(1)求证：

　AC BD  ；(2)求直线 DE 与 PC 夹角  的余弦值；(3)求点 A 到平面 BDE 的距离 d 的值.

　 3．在四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，∠ BAD =90°， AD ∥ BC ， AB = BC = a ， AD =2 a ，且 PA ⊥底面 ABCD ， PD 与底面成 30°角． （1）若 AE ⊥ PD ， E 为垂足，求证：

　BE ⊥ PD ； （2）求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值．

　 4、已知棱长为 1 的正方体 A C 1 ，E、F 分别是 B 1 C 1 、C 1 D 的中点．（1）求证：E、F、D、 B 共面；（2）求点 A 1 到平面的 B DEF 的距离；（3）求直线 A 1 D 与平面 B DEF 所成的角．

　 DACBPE

　.*

　5、已知正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点，求：

　（Ⅰ）

　D 1 E 与平面 BC 1 D 所成角的大小；（Ⅱ）二面角 D － BC 1 － C 的大小；

　【模拟试题】

　1. 已知空间四边形 ABCD ，连结 , AC BD ，设 , M G 分别是 , BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）

　AB BC CD   ； （2）1( )2AB BD BC   ；

　 （3）1( )2AG AB AC   。

　 2. 已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量。

　, , , OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD     。（1）求证：四点 , , , E F G H 共面； （2）平面 AC // 平面 EG 。

　3. 如图正方体1 1 1 1ABCD ABC D  中，1 1 1 1 1 114B E D F AB   ， 求1BE 与1DF 所成角的余弦。

　 4. 已知空间三点 A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。

　⑴求以向量 , AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S； ⑵若向量 a 分别与向量 , AB AC 垂直，且| a |＝ 3 ，求向量 a 的坐标。

　 5.已知平行六面体 ABCD ABC D      中， 4, 3, 5, 90 AB AD AA BAD       ， 60 BAA DAA       ，求AC的长。

　.*

　[参考答案] 1. 解：如图，

　 （1）

　AB BC CD AC CD AD      ； （2）1 1 1( )2 2 2AB BD BC AB BC BD      。

　AB BM MG AG     ； （3）1( )2AG AB AC AG AM MG      。

　2. 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AC AB AD   ， ∵ EG OG OE   ， ( ) ( )( )k OC k OA k OC OA kAC k AB ADk OB OA OD OA OF OE OH OEEF EH                 ∴ , , , E F G H 共面； （2）解：∵ ( ) EF OF OE k OB OA k AB       ，又∵ EG k AC   ， ∴ // , // EF AB EG AC 。

　所以，平面 // AC 平面 EG 。

　3.

　 解：不妨设正方体棱长为 1 ，建立空间直角坐标系 O xyz  ， 则 (1,1,0) B ，13(1, ,1)4E ， (0,0,0) D ， 11(0, ,1)4F ， ∴11(0, ,1)4BE   ，11(0, ,1)4DF  ， ∴1 1174BE DF   ， 1 11 1 150 0 ( ) 1 14 4 16BE DF          。

　.*

　 1 1151516cos ,17 17 174 4BE DF   。

　4. 分析：⑴1( 2, 1,3), (1, 3,2), cos2 | || |AB ACAB AC BACAB AC        

　∴∠BAC＝60°， | || |sin60 7 3 S AB AC   

　⑵设 a ＝（x，y，z），则 2 3 0, a AB x y z     

　2 2 23 2 0,| | 3 3 a AC x y z a x y z          

　解得 x＝y＝z＝1 或 x＝y＝z＝－1，∴ a ＝（1，1，1）或 a ＝（－1，－1，－1）。

　5. 解：2 2| | ( ) AC AB AD AA     

　2 2 2| | | | | | 2 2 2 AB AD AA AB AD AB AA AD AA            

　2 2 24 3 5 2 4 3 cos90 2 4 5 cos60 2 3 5 cos60               

　16 9 25 0 20 15 85       

　所以， | | 85 AC  。