导数—高中数学一个交汇点.doc

下面是小编为大家整理的导数—高中数学一个交汇点.doc,供大家参考。

　 导数—高中数学的一个交汇点

　 一、考试要求 1、 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

　2、 熟记基本导数公式（c,mx

　(m 为有理数)）， s i n , c o s , , , l n , l o gx xax x e a x x 的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数； 3、 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

　二、重难点分析 利用导数的方法研究函数的性质是目前高考命题的重点和热点内容。在知识网络的交汇处设计问题，则是高考命题的创新主体。在现行的高中数学教材中，导数融数形于一体，既有求导的运算，又有其物理意义与几何意义，是高中数学的一个重要交汇点，是联系多个章节内容及解决相关问题的重要工具，它常与函数，不等式、数列、向量、解析几何、三角等内容交汇渗透。在复习的过程中应认识到：能对简单的初等函数进行求导是本章的重点；能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型，并应用导数知识去解决问题是本章的关键；在处理函数单调性、函数的极值及不等式证明等问题时，能灵活运用导数的方法是本章的重中之重。

　三、知识网络

　导数的实际背景

　导数定义

　导数的几何意义

　导 函 数

　 基本导数公式

　求导的四则 运算法则

　复合函数求导法则

　求简单函数 的导数

　导数的应用

　判断函数的单调性

　判断函数的 极大（小）值

　求函数的 最大（小）值

　 四、重点知识的梳理 1、 常见函数的导数 ① ( ) 0 c  (c 为常数) ②1( ) ( )m mx mx m  

　③ (sin ) cos x x ④ (cos ) sin x x  

　⑤ ( )x xe e  ⑥ a a ax xln 

　⑦1(ln ) xx  ⑧1(log )lnaxx a  2、 四则运算法则 若 ( ), ( ) u x v x 的导数都存在，则 ① ( ) u v u v      

　② ( ) uv uv uv     

　③2( )u u v uvv v    3、 复合函数求导 设 ( ) u x   在 x 处可导， ( ) y f u 

　在 ( ) u x   处可导，则复合函数 [ ( )] f x  在点 x

　处可导，且x u xy y u  

　4、 导数的几何意义与物理意义：

　① 设函数 ( ) y f x  在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数 ( ) y f x  所表示的曲线在点0 0( , ) M x y 处的切线斜率。

　② 设 ( ) s s t  是位移函数，则0( ) s t  表示物体在0t t  时刻的瞬时速度。

　③ 设 ( ) v v t  是速度函数，则0( ) v t  表示物体在0t t  时刻的加速度。

　5、 连续与可导的关系 连续是可导的必要条件而不是充分条件，可导一定连续，而连续不一定可导。

　 6 、 导数的应用 ①

　利用导数的几何意义求曲线的切线方程； ②

　判断函数的单调性. 如果函数 ( ) y f x  在 ] , [ b a 上连续，在 ) , ( b a 内可导， （a）如果在 ) , ( b a 内 ( ) 0 f x   ，那么函数 ( ) f x 在 ] , [ b a 上单调增加； (b) 如果在 ) , ( b a 内 ( ) 0 f x   ，那么函数 ( ) f x 在 ] , [ b a 上单调减少。

　③ 判断函数的极大（小）值 若 ( ) f x 在点0x 处连续且可导， ( ) f x  在0x 左右两侧符号异号，左正右负，极大值；左负右正，极小值。解题过程通常用列表法。

　④ 求函数的最大（小）值 情形 1. 闭区间 [ , ] a b 上连续函数的最值 如果函数 ( ) f x 在 ( , ) a b 内可导 （ⅰ）求出 ( ) f x 在开区间 ( , ) a b 内的所有驻点1 2, ,nx x x ； （ⅱ）比较1 2( ), ( ), ( ), , ( ), ( )nf a f x f x f x f b 的大小，其中最大的便是 ( ) f x 在 [ , ] a b

　 上的最大值，最小的便是 ( ) f x 在 [ , ] a b 上的最小值。

　为 注：使导数为 0 的点叫函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

　情形 2. 实际问题中单峰函数的最值

　在求实际问题的最大值或最小值时，一般时先找出自变量，因变量，建立函数关系式，并确定定义域，如果对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值即为最大（小）值，而不用讨论驻点是否为极值点。

　五、例题 < 一> 导数在研究函数单调性中的应用 例 例 1．已知 a R  ，求函数axe x x f2) (  的单调区间 解：函数 ( ) f x 的导数为 2( ) 2ax axf x xe ax e   

　2(2 )axx ax e  

　(ⅰ)当 0 a  时，若 0, ( ) 0, x f x   

　( ) f x  在 (0, )  内为增函数， 若 0, ( ) 0, x f x   

　( ) f x  在 ( ,0)  内为减函数 (ⅱ)当 0 a  时，若20, ( ) 0, ( ) x f x f xa      在2( ,0)a 内为减函数;

　若2, 0, ( ) 0, ( ) x x f x f xa      在2( , )a  和 (0, )  内为增函数 (ⅲ)当 0 a  时，若20 , xa  

　 ( ) 0, f x  

　 ( ) f x  在2(0, )a 内为增函数,

　若 0 x  或2,xa 

　 ( ) 0, f x  

　 ( ) f x  在 ( ,0) 

　 和 2( , )a 

　内是减函数 注：单调区间不能使用符号2( ,0) ( , )a   表示。

　例 例 2 ．证明不等式：

　2( 1)ln1xxx , 其中 1 x

　证明 ：

　设

　2 ( 1)( ) ln1xF x xx  ,

　( 1) x 

　21 4( )( 1)F xx x  

　2 22 2( 1) 4 ( 1)( 1) ( 1)x x xx x x x     1 x

　 ( ) 0 F x   

　( ) F x  在 (1, )  内为单调递增函数 又

　(1) 0 F 

　

　当 1 x 时, ( ) (1) F x F 

　即

　2( 1) (1 1)ln ln1 01 1 1xxx     

　 2( 1)ln1xxx 

　( 1) x 

　注：构造函数是解题的关键。

　< 二> 利用导数的几何意义解题（导数与解析几何的交汇）

　例 例 3. 已知函数3 2( ) 3 f x ax bx x    在 1 x 处取得极值

　 （1）讨论 (1) f 和 ( 1) f  是函数的极大值还是极小值 （2）过点 A (0,16)作曲线 ( ) y f x  的切线，求此切线方程。

　解：（1）

　2( ) 3 2 3 f x ax bx    

　依题意，

　 (1) ( 1) 0 f f     

　即

　 3 2 3 03 2 3 0a ba b     

　 解得

　 10ab 

　3( ) 3 f x x x   

　2( ) 3 3 3( 1) ( 1) f x x x x      

　令 ( ) 0 f x   , 得 1 x , 1 x

　若 ( , 1) (1, ) x    ，则 ( ) 0 f x  

　( ) f x  在 ( , 1)   和 (1, )  上是增函数。

　若 ( 1,1) x  ，则 ( ) 0 f x   ， ( ) f x 

　在（－1，1）上是减函数， 故

　 ( 1) 2 f  

　是极大值；

　(1) 2 f  

　是极小值。

　（2）

　 曲线方程为 33 y x x   ， 点 A(0,16)

　不在曲线上， 设切点 0 0( , ) M x y

　，则点 M 的坐标满足

　 30 0 03 y x x   ， 因

　20 0( ) 3( 1) k f x x    

　故切线方程为：

　3 20 0 0 0( 3 ) 3( 1)( ) y x x x x x     

　而

　A(0,16) 在切线上

　3 20 0 0 016 ( 3 ) 3( 1)(0 ) x x x x      

　解得：02 x   。

　故所求切线方程为

　 9 16 0 x y   

　 例 例 4．已知抛物线 1C ：22 y x x   和2C ：2y x a    ，如果直线 l 同时是1C 和2C 的切线，称 l 是1C 和2C 的公切线。公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

　 (1)a 取什么值时，1C 和2C 有且只有一条公切线？写出此公切线的方程； (2)若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

　解：（1）函数 22 y x x   的导数 2 2 y x ，函数2y x  +a 的导数为 2 y x    ， 1C 

　在点21 1 1( , 2 ) P x x x  处的切线是

　 21 1 1( 2 ) (2 2)( ) y x x x x x       ， 即

　21 1(2 2) y x x x   

　 ① 2C 在点22 2( , ) Q x x a   处的切线是， 22 2 2( ) 2 ( ) y x a x x x      ,

　 即

　22 22 y x x x a    

　 ② 如果 l 是1C 和2C 的公切线，则①和②都是 l 的方程。

　1 22 21 22 2 2 x xx x a      

　消去2x 得：

　21 12 2 1 0 x x a     . 利用

　4 4 2(1 ) 0 a       . 得

　12a   , 112x  

　, P Q  重合. 因此12a   时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，此公切线方程为：14y x  

　 （2）由（1）可知，12a   时，1C 和2C 有两条公切线， 设一条公切线上切点为1 1 1 1 2 2( , ), ( , ) P x y Q x y

　 其中1P 在1C 上，1Q 在2C 上， 则有

　1 22 2 2 21 2 1 1 2 1 1 112 ( ) 2 ( 1)x xy y x x x a x x x a             

　 线段1 1PQ 中点为：

　1 1( , )2 2a   ，

　同理，另一条公切线段2 2PQ 的中点也是 1 1( , )2 2a   ，

　 ∴ 公切线段1 1PQ 和2 2PQ 互相平分.

　< 三> 导数与数列知识的综合 例 5.

　二次函数 ( ) y f x  图象经过点（0，10），导函数 ( ) 2 5 f x x    ，当  1 n n, x   *( ) n N  时， ( ) f x 的函数值为整数的个数记为na ，求数列  na 的通项公式。

　解：

　( ) 2 5 f x x   

　∴ 设2( ) 5 f x x x c   

　（ c 为常数）

　∵图像经过(0,10)点，∴ 10 c  . 则

　2 25 15( ) 5 10 ( )2 4f x x x x      

　当 [ , 1] x n n  

　 *( ) n N  时， ( ) f x 的函数值为整数的个数是na ，当 n＝1 时， ( ) f x 在(1,2] 的值域是 [4,6)

　1 , 4 ,415] 3 , 2 ( ) ( 2221  a x f na的值域是 在 时， 当                   3 4 22 11 2) 3 ( 4 2 ) 10 5 ( ) 6 3 (] 6 3 , 10 5 [ ] 1 , ( ) ( 3) ( 5 . 2 5 2 ) (2 22 2n nnnan n n n n n an n n n n n x f nx f x x x fnn　　　　　　　　　　综上可得：　　递增，值域为 在 时， 即当是增函数 时， 　　  

　< < 四> > 用导数的方法求函数的最值 例 例 6 求椭园 1 4 ) 1 (2 2   y x 上位于第一象限部分的点的横纵坐标之积的最大值及此时的坐标。

　解：设 sin21cos 1yx     sin ) cos 1 (21) (sin ) cos 1 (210   fxy＜ ＜设　　则　　位于第一象限　　  则问题化归为求 ) 0 ( ) (    ＜ ＜ f 　　 的最大值。

　     右负 的左右两侧符号为左正 在 　　　 　　　　　 　　 令　　 　　　　　　　　3) (3 21cos0 1 cos ) 0 ( 0 ) ()21)(cos 1 (cos1 cos cos 221cos cos 1 sin21) (22                         f＜ ＜ ff  432383 3)3(3) (yxff此时　　　　　值，代入计算可得 时取极大值，也是最大 在 　  故在 ）

　（43,23处，横纵坐标之积最大，且最大值为83 3

　例 例 7 如图，某海滨浴场有岸边可近似地看作直线 a，求生员现在岸边 A 处，发现海中的 B处有人求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是沿岸边 A 跑到离 B 最近的 D 处，然向游向 B 处。若救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒，在海水中的进行速度为 2 米/秒。

　（1）分析救生员的选择是否正确；

　（2）在 AD 上找一点 C，使救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出最短时间。

　解：（1）A 到 B 的时间 2 1501 t 秒 A 到 D 再到 B 的时间 200230063002   t 秒   　　 2 150 200 ＜ 救生员选择是对的。

　（2）设 cot 300 300 ,sin300,      AC BC a DCB 则

　从 A 到 C 再到 B 的时间

　 ) c o t c s c 3 ( 50 502 4csc 150 cot 50 50sin 23006cot 300 300) (a aa aa f t     　＝）

　　　（ 　＝ 31cos , 0 ) ( 0 csc)sincos 3sin1( csc 50)2csc cot csc 3 ( 50 ) ( ) (      a a f aaa a a a f a a f则 　　令　　　　 的导数， 求关于 对　 故在  2,4 上，f(α)存在唯一驻点。

　 此时，

　 2 100 50)32 231332 23( 50 500    　　t 比较驻点和端点的值，当31arccos  a 时，t 取最小值 2 100 50

　则当 C 选在离 D 点 2 75 处，所花时间最短，最短时间为 2 100 50 

　解法 2：

　设 x CD ,则290000 , 3 x BC x AC    

　2 750 ) (90000 690000 390000 4261) (290000650) 300 0 (2900006300) (22222         xx fxx xxxx fx xxx xx f t求出驻点　　令　　 此时 2 100 50   t

　比较 　得 2 100 50 ) 2 75 ( , 2 150 300 ( , 200 ) 0 (     f f f

　当 C 点在距 A 点 2 75 300  时，所花时间为最短，且最短时间为 2 100 50 

　 六、归纳小结 高考对本章知识的要求一般有三个层次：

　第一层次主要考查导数的概念，求导的公式和求导的法则； 第二层次是导数简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性，利用导数的几何意义求曲线的切线方程等； 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关等式和函数的单调性等有机地结合在一起去设计综合试题。

　总之，在复习地过程中，应把导数的知识当作工具应用到其他与之相关的主干知识之中去，导数知识的考查应是高考命题中的亮点、重点、热点，热点的大热点。