导数-高中数学一个交汇点（完整）

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　导数——高中数学的一个交汇点

　一、 考试要求 1． 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、 加速度、 光滑曲线切线的斜率等）； 掌握函数在一点处的定义和导数的几何意义； 理解导函数的概念。

　2． 熟记基本导数公式（c， xm（m 为有理数）， sinx， cosx， ex， ax， lnx， logax 的导数）； 掌握两个函数和、 差、 积、 商的求导法则， 了 解复合函数的求导法则， 会求简单函数的导数。

　3． 理解可导函数的单调性与其导数的关系； 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）； 会求一些实际问题（一般指单峰函数）

　的最大值和最小值。

　二、 重难点分析 利用导数的方法研究函数的性质是目前高考命题的重点和热点内容。

　在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。

　在现行的高中数学教材中， 导数融数形于一体， 既有求导的运算， 又有其物理意义与几何意义， 是高中数学的一个重要交汇点是联系多个章节内容及解决相关问题的重要工具， 它常与函数， 不等式、 数列、 向量、 解析几何、 三角等内容交汇渗透。

　在复习的过程中应认识到：

　能对简单的初等函数进行求导是本章的重点。

　能把实际问题转化为求解最大（小）

　值的数学模型， 并应用导数解决问题是本章的关键。

　在处理函数单调性、 函数的极值及不等式证明等问题时， 能灵活运用导数的方法是本章的重中之重。

　三、 知识网络

　 四、 重点知识的梳理 1． 常见函数的导数 2． 四则运算法则 3． 复合函数求导 设 u=)(xϕ在 x 处可导，y=f(u) ， 在 u=)(xϕ处可导， 则复合函数 f[)(xϕ] 在点 x 处可导， 且x′u′x′uyy=。

　4． 导数的几何意义与物理意义 ①设函数 y=f(x) 在点 x0处可导， 那么它在该点的导数等于函数 y=f(x) 所表示的曲线在点 M(x0， y0) 处导数的实际背景 导数定义 导数几何意义 导函数 基本导数公式 求导的四则 运算法则 复合函数求导法则 求简单函数 的导数 导数的应用 判断函数的 极大（小）

　值 求函数的 最大（小）

　值 判断函数的单调性

　的切作斜率。

　②设 s=s(t) 是位移函数， 则 s′ (t0) 表示物体在 t=t0时刻的瞬时速度。

　③设 v=v(t) 是速度函数， 则 v′ (t0) 表示物体在 t=t0时刻的加速度。

　5． 连续与可导的关系：

　连续是可导的必要不充分条件。

　6． 导数的应用 ①利用导数求曲线的切线方程

　②判断函数的单调性

　③判断函数的极大（小）

　值 ④求函数的最大（小）

　值

　五、 典例解析 例 1

　已知函数 f(x) =) 1(32++−aaxex其中 a∈R， e 是自然对数的底数。

　（1）

　若 f(x) 在[1， 2] 内为减函数， 求 a 的取值范围；

　（2）

　求函数 f(x) 在[1， 2] 上的最大值。

　xe−(ax解：f′ (x) =-32+a+1)+3xe−(2ax) =-3xe−(ax2-2ax+a+1)

　（1）

　若 f(x) 在[1， 2] 内为减函数， 则 f′ (x) ≤0 在[1， 2] 内恒成立。

　而 e在[1， 2] 上恒成立。

　（i）

　若 x=1， 则 1≥0 恒成立。

　-x>0， ∴ax2-2ax+a+1≥0 （ii）

　若 x∈（1， 2] ， 则 a(x-1)2≥-1， ∴a≥-])2 , 1 (() 1−(12∈xx, ∴a≥1]) 1−(1[max=−x.

　综上 a≥-1 （2）（i）

　∵a≥-1 时， f(x) 在[1， 2] 内单减， ∴f(x) max=f(1) =ea312 + （ii）

　a<-1 时，f′ (x) =-3xe−(ax2-2ax+a+1) ， 令 f′ (x) =0,

　则aaaaaaax/12) 1(442221−+=+−±=⋅,11, 1121<−a+=>−a−=axax,

　1,1112−<−+=−a−aaa.

　x ]1 , 1 [aa+ ] 2 ,1 [a+ a− f′ (x) f(x)

　- ↘

　↗

　a<-1 时， 1<21<−a−a， ∴f(x) 的 max 只能在 x=1， x=2 处. f(2) -f(1) =)]1 ()25[(312eaee−+−,

　（i）e1ea2−51−e<时， f(2)>f(11) ， ∴f(x) max=f(2) =) 15 (312+ae；

　（ii）ea25−−1=时， f(1) =f(2) ， ∴f(x) max=f(1) =f(2) ；

　（iii）125−<<−aee， f(1) >f(2) ， ∴f(x) max=f(1) =e 31(2a+1) ；

　综上：

　∴−−>+−−≤+=)2251() 13 (31)25e1() 15 (31)(2maxeaaeeeaaexf 例 2

　用导数证明：

　当 x>0 时， 不等式2xx −<ln(1+x) <x 成立。

　证：

　设 f(x) =)1ln(22xxx+−−， 则 f′ (x) =1-x-xxxxx+−1=+−−1=+111122， ∵x>0， ∴ f′ (x) <0 即f(x) 在（0， +∞）

　上单减， ∴f(x) <f(0) ， 而 f(0) =0， ∴0)1ln(22<+−−xxx， ∴)1ln(22xxx+<−。

　设 g(x) =ln(1+x) -x，01111)(−<+−=−+=′xxxxg， ∴g(x) 在（0， +∞）

　上最小值。

　∴g(x)<g(0) =0，即 ln(1+x) <x。

　例 3

　已知函数 f(x)=ln(1+x) -x

　g(x) =xlnx （1）

　求函数 f(x) 的最大值；

　（2）

　设 0<a<b， 证明：

　0<g(a) +g(b) -2g)2(ba +<(b-a)ln2。

　解：（1）xxxxf+−=−+=′1a +111)(， ∴f(x) 在（-1， 0）

　上最大值在（0， +∞）

　最小值， ∴f(x) max=f(0) =0。

　（2）

　设 F(x) =g(a)+g(x) -2g)2(x=alna+xlnx-(a+x) ln2xa +，

　∴ F′ (x) =lnx+x·x1-ln2xa +-(a+x)2121+ x⋅a=lnx-ln(a+x) +ln2=xax+2ln。

　若 x>b， 则 F′ (x) >0， ∴F(x) 在 （a， +∞）上为最大值， ∴F(x) >F(a) ， ∴F(b) =g(a) +g(b)-2g0)2x(>+ ba，

　设 G(x) =g(a) +g(x) -2g)2(ax +-(x-a)ln2， ∴ G′ (x) =xbaa +xxax+=−+ln2ln2ln， ∵10<+<xa ∵ G′ (x) <0， ∴G(x) 在（a， +∞）

　上最小值， ∴G(x) <g(a) ， ∴g(a) +g(b) -2g)2(<(b-a)ln2。

　例 4

　已知函数 f(x) =lnx， g(x) =f(x+1)-x。

　（1）

　求函数 g(x) 的最大值；

　（2）

　设 0<a<b， 证明 f(b) -f(a) >22)(2baaba+−。

　解：

　（1）

　已知 f(x) =lnx， g(x)=f(x+1) -x， ∴g(x) =ln(x+1) -x， ∵函数 g(x) 的定义域为（-1， +∞），

　1−+ x时， g(x) 取得最大值。

　最大值为 0。

　（2）

　F(x) =(xaxxxaxax-2a(x-a) >0， 当 b>a>0 时 ， 有(bg′ (x) =11， 令 g′(x)=0 得 x=0， x∈(-1， 0) ， g′(x) >0， x∈(0， +∞) ， g′(x) <0， ∴当且仅当 x=02+a2) (lnx-lna) -2a(x-1)

　(x≥a>0) ，

　ax22)(=−则 F′ (x) =2xlnxax222)(ln−+++， ∵x>a>0， ∴ F′ (x) >0， 当 x>a 时， F(x) 是最大值 ， 又 F(a) =0， ∴x>a 时， F(x) >F(a) =0， ∴(x2+a2) lna)。

　2+a2) lnab-2a(b-a) >0 ∴22)(2lnbaabaab+−>， 即 f(b) -f(a) >22(2baaba+−例 5

　设 f(x) =(ax2+x-1) e-x（e 为自然对数的底数， a 为常数， 且 a<0， x∈ R）， f(x) 取极小值时， 求 x

　的值。

　解：f′ (x) =(2ax+1) e-x+(ax2+x-1) (-e-x) =-e-x[ax2+(1-2a)x-2] ， 令 f′ (x) =0ax1−=⇒或 2 （i）

　当21>−a， 即102a−<<时 x （-∞， 2）

　+2 （2， -a1）

　-a0 1 （-a1， +∞）

　f′ (x) f(x)

　1=−a1<−a+ 0 - + ↗

　极大值 ↘

　极小值 ↗

　（ii）2， 即 a=-21，0) 2(21)(2≤−−=′−xexfx无极值。

　（iii）2， 即 a<-21时 x （-∞， -a1）

　-a0 1 （-a1， 2）

　2 （2， +∞）

　f′ (x) f(x)

　+ - 0 + ↗

　极大值 ↘

　极小值 ↗

　∴x=-2 时， f(x) 取极小值。

　综上：

　当-2取极小值。

　例 6

　已知函数 f(x)=x-sinx， 数列{an} 中， 0<a1<1， an+1=f(an) 。

　求证：

　1<a<0 时， x=-21时 f(x) 取极小值。

　当 a=-21时， f(x) 无极值。

　当 a<-21时， x=2 时， f(x)（1）

　0<an+1<an<1；

　 （2）

　an+1<6解：

　（1）

　用数学归纳法证明：

　0<an<1 （i）

　当 n=1 时， ∵0<a1<1， 命题成立。

　（ii）

　假设当 n=k 时， 不等式成立。

　∴0<ak<1，

　sinak>0， ak+1=ak-sinak<ak<1， 又 0<ak<1， ak>sinak，

　∴0<ak+1<1 1x 。（0<x<1）

　13n a 。

　（2）

　设 g(x) =x-sinx-36∴ g′ (x) =1-cosx-21x2=2sin22x-21x2=2[sin22x-(2x)2] =)221x ， g(x) 在（0， 1）

　上是增函)(sin22(sin2xxxx−+， ∵sin2x<2x，

　∴ g′ (x) <0， 即 g(x) 在（0， 1）

　上最大值。

　∴g(x)<g(0) =0， 即 x-sinx<36数， 又 g(x) 在[0， 1] 上连续， 且 g(0) =0。

　而∴0<an<1， ∴g(an)>0， ∴an-sinan<6例 7

　已知 An(an， bn) （n∈N*）

　是曲线 y=e213−+=nnnSanS（an≠0， n=2， 3， 4…）

　b+（n≥2 是常数数列）；

　13n a ， ∴3n161naa<+。

　x上的点， a1=a， Sn 是数列{an} 的前 n 项和， 且满足：22（1）

　证明：

　数列}{2nnb（2）

　确定 a 的取值范围 M， 使 a∈M 时， 数列{an} 是单调递增数列；

　（3）

　证明：

　当 a∈M 时， 弦 AnAn+1（n∈N*）

　的斜率随 n 单调递增。

　SSnn132 =−−Sn+1+Sn=3(n+1)bnnaan==证：

　（1）

　n≥2 时，ann22， ∵an=Sn-Sn-1≠0， ∴Sn+Sn-1=2n S ，

　① 2 ，

　 ②

　 ②-① an+1+an=6n+3(n≥2) ，

　 ③

　 an+2+an-11=6n+9，

　 ④ ④-③ ∴an+2-an=6

　622eebn−++。

　（2）

　a2k=a2+6(k-1)

　 a2k+1=a3+6(k-1)

　 a2k+2=a4+6(k-1) ， a2=12-2a， a3=3+2a ， a4=18-2a，

　( 6) 1( 63222122+<−+⇔<<++akaaaakkk159<<a ) 1−( 6) 1−4+<⇔kak4321aaaa<<<⇔ 44⇔（3）

　弦 AnAn+1 的斜率为nnaannnnnaaeeaabbAnn−=−−=++++1111， ∀ x0， 设00)(xxeexfxx−−=，

　则200)()()()(0xxeexxexfxxx−−−−=′， 记)()()(00xxxeexxexg−−−=， 则当 x>x0时， g′ (x) >0， g(x) 在（x0， +∞）

　上最大值， x<x0时， g′ (x) <0， ∴g(x) 在（-∞， x0）

　上最小值， ∴x≠x0时， g′ (x)>g(x0) =0，从而 f′ (x) >0， ∴f(x) 在（x0， +∞ ）

　， （-∞， x0）

　上都是增函数。

　由（2）

　当 a∈M 时， 数列{an} 最大。

　aaaeeek−−++21221−>−nnnnaaaa−=nax∴x0=an， ∵an<an+1<an+2， ∴nnannnaaeaannnn−<−=++21， ∴x0=an+2， ∵an<an+1<an+2，

　∴2221++++−e−=+++eaaaneeeknannn， ∴kn<kn+1， 即弦 AnAn+1（n∈N*）

　的斜率随 n 单增。

　方法二：11)(+−+axexfn， ∵f(x) 在（-∞， an+1）， （an+1， +∞）

　上都是最大值。

　∴111111lim→a++−n++=−−<−−=++nnnnanaxxnnaaneaxeeaaeek，111121121lim→a+++n+++=−−>−−=+−++nnnnanaxxnnaaneaxeeaaeek， ∴kn<kn+1。

　例 8

　二次函数 y=f(x) 的图象经过点（0， 10）， 导函数 f′ (x) =2x-5， 当 x∈[n， n+1] （n∈ N*）

　时，f(x) 的函数值为整数的个数记为 an， 求数列{an} 的通项公式。

　解：

　∵ f′ (x) =2x-5， ∴设 f(x) =x5)42-5x+c（c 为常数）， ∵图像经过（0， 10）

　点， ∴ c=10。

　15， 当 x∈[n， n+1] （n∈N*）

　时， f(x) 的函数值为整数的个数是 an， 当 n=1则 f(x) =x2-5x+10=(x-22+时， f(x) 在] 2 , 1 (的值域是[4， 6 ) ； ∴a1=2， 当 n=2 时， f(x) 在] 3 , 2 (的值域是) 4 ,415[， ∴a2=1， ∵ f′ (x) =2x-5，∴x>2. 5 时， f(x) 是增函数， 即当 n≥3 时， f(x) 在2-3n+6) -(n2] 1,(+nn递增， 值域为[n2-5n+10， n2-3n+6] ，

　∴an=(n2-5n+10) =2n-4（n≥3）

　=42n综上可得：≥−3+3x+2 分别在 x1， x2处取得极小值， 极大值， x0y 平面上点 A， B 的坐标分别为==3211nnnan。

　例 9

　设函数 f(x)=-x（x1， f(x1) ，（x2， f(x2) ））， 平 面 上动点 P 满足4,=PBPA， 点 Q 是点 P 关于直线 y=2(x-4)的对称点， 求：

　（1）

　点 A、 B 的坐标；

　（2）

　动点 Q 的轨迹方程。

　解：（1）

　对 y=-x时， y′ >0， x>1 时， y′ <0， ∴y=-x坐标分别为（-1， 0）（1， 4）

　3+3x+2 求导得：

　y′ =-3x2+3， 令 y′ =-3x2+3=0， 解得 x=±1， 当 x<-1 时， y′ <0， -1<x<12+3x+2 在 x=-1 处取得极小值 0， 在 x=1 处取得极大值 4。

　即点 A， B 的（2）

　设 P(x， y) ， PA =（-1-x， -y）， PB =（1-x， 4-y）， 由 PA · PB =4⇒(-x-1) (1-x) +(-y) (4-y)=4 即 x∵点 Q 是点 P 关于直线 y=2(x-4) 取对称点， ∴动点 Q 的轨迹是一个以 C0(x0， y0) 为圆心， 半径为 3 的2+(y-2)2=9， ∴P 的轨迹是以 C（0， 2）

　为圆心， 半径为 3 的圆。

　圆其中 C0（x0， y0）

　是点（0， 2）

　关于直线 y=2(x-4) 的对称点。

　∴−+2=+2−=⋅−−) 40( 2210200200xyxxy∴−==2800yx

　∴Q 点的轨迹方程为(x-8)例 10

　某海滨浴场有岸边可近似地看作直线 a， 求生员现在岸边 A 处， 发现海中的 B 处有人求救， 救生员没有直接从 A 处游向 B 处， 而是沿岸边 A 跑到离 B 最近的 D 处， 然向游向 B 处。

　若求生员在岸边的行进速度为 6 米/秒， 在海水中的进行速度为 2 米/秒。

　（1）

　分析救生员的选择是否正确。

　（2）

　在 AD 上找一点 C， 使救生员从 A 到 B 的时间为最短， 并求出最短时间。

　2+(y+2)2=9 解：

　（1）

　A 到 B 的时间 t1=150 2 秒， A 到 D 再到 B 的时间 t2=23006300+=200 秒， ∴200<150 2 ，∴救生员选择是对的。

　（2）

　设∠DCB=d， 则 BC=α300sin300， AC=300-300cosα ， 从 A 到 C 再到 B 的时间 ααsin26cot300300)(+−==aft=50-50cota+150csca =50+40(3csca-cota)

　 )24(πα≤π≤ 对 f(a) 求关于 a 的导数，f′ (a) =50(-3cscacota+csc2a) =50csca)sincos3sin1(ααα−， ∵scca≠0， 令f′ (a) =0， 则 cosa=31， 故在]2,4[ππ上，)(αf存在唯一驻点。

　此时，)3223133223(50500×−+=t=50+1002 ， 比较驻点和端点的值， 当 a=arccos31时， t 取最小值50+100 2 ， 则当 C 选在离 D 点 75 2 处， 所花时间最短， 最短时间为 50+100 2

　A D B a 45°

　300m