多元函数的Taylor公式及其应用

【摘要】我们知道一元函数的Taylor展式[1]在一元函数的微分学中有着重要的应用，而多元函数的Taylor展式在多元函数的微分学中同样有着重要的作用。本文首先给出多元函数的Taylor展式及其唯一性的证明，然后给出例题说明Taylor的重要应用。

【关键词】多元函数；Taylor展式；唯一性；应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）02-0282-02

一、多元函数Taylor展式唯一性定理

这里只给出二元函数的Taylor展式及其唯一性定理的证明，对于多元函数Taylor展式[2]及其唯一性定理可进行类似的证明。

定理：假设f（x，y）具有n+1阶连续偏导数[3]，则在（x0，y0）用某种方法可得展开式：

（1）

其中：

则必有：

证：已知f（x，y）有n+1阶连续偏导数，故f（x，y）的Taylor公式成立：

（2）

（1）减（2）式，便得0函数展开式

（3）

其中：

因此，我只要由式（3）推出Bij=0（i+j=0，1，2…n）即可，作变换ζ=x-x0，η=y-y0，对于变量（ζ，η），式（3）变成为：

（4）

现证明Bij=0（i+j=0，1…n，i，j为非负正数）

首先在上式中，令ρ→0，便得B00=0

再令η=αζ则（4）式变成：

（5）

设ζ≠0，用ζ除此（5）式，令ζ→0，得 B10+αB01=0因为α为任意实数，所以B10=B01=0此时（5）式成为：

（6）

类似地，（6式）除以ζ2，再令ζ→0，得B20+αB11+α2B02=0由α为任意实数，便得B20=B11=B02=0从而（6）式变成：

如此继续下去，可得一切Bij=0（i+j=0，1…n，i，j为非负正数）证毕。

二、应用举例

我们知道一元函数的Taylor展式在一元函数的微分学中有着重要的应用，同样多元函数的Taylor展式在多元函数的微分学中也有着重要的应用，下面只给出其在凸的有界闭区域上，证明有连续一阶偏导数的多元函数满足Lipschitz条件[4]和有连续的二阶偏导数的多元函数为凸函数的充要条件为Hessian矩阵[5]在凸的有界闭区域上为半正定的两个重要应用。

例1.设DRn为凸的有界闭区域，f（P）在D上有连续的一阶偏导数，试证明：f（P）在D上满足Lipschitz条件，即：L>0，P1，P2∈D有：

|f（P）-f（P1）|≤L|P-P1|

证：据已知条件DRn为凸的有界闭区域可知：M>0，使得

|f′xi（P）|≤M，P∈D，i=1，2，…，n

因为D为凸区域，据Taylor公式，使得：

这里，，令L=Mn，则得

|f（P1）-f（P2）|≤L|P1-P2|

证毕。

注：由此例可知，在凸区域上的函数f的一阶偏导数连续有界，则f在些区域上一致连续。

例2.设DRn为凸的有界闭区域，f（x）=f（x1，x2，…，xn）在D上有定义，且有连续的二阶偏导数，试证明f（x）在D上为凸函数的充要条件为Hessian矩阵

在D上为半正定的。

证：（充分性），根据Taylor公式，（0<θ<1），使得

（1）

而

（2）

若矩阵在D为非半正定的，则（2）式非负，（1）式成为

f（y）≥f（x）+（y-x）f（x）

从而f（x）在D上为凸函数。

（必要性）用反證法

假设为非半正定的，则，及h=（h1，h2，…，hn），使得

（3）

另一方面，由Taylor公式，当λ→0时，

（4）

由于（3）当λ充分小时，（4）式右端第三项为负，于是f（x+λh）≤f（x）+λhf（x）与f凸性矛盾。证毕。

参考文献

[1]同济大学数学系 微积分[M].高等教育出版社，2010.

[2]陈效群 微积分学习辅导[M].科学出版社，2004.

[3]孙清华 数学分析内容，方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2003.

[4]冯翠莲 微积分学习辅导与学习方法[M].高等教育出版社，2003.

[5]纪乐刚 数学分析[M].华东师范大学出版社，1993.