基于Dirichlet模型的达州市灯影牛肉品牌竞争力模糊综合评价研究

基金项目：2013年度四川文理学院大学生科学研究项目

作者简介：张 强（1991—），男，四川达州人，本科， 研究方向：数学与应用数学

姓名：彭志琼 女 汉族 出生年月：1971年9月 四川崇州人，助理研究员 研究方向：教学管理研究

陈 佳（1992—），男，四川南充人，本科， 研究方向：数学与应用数学

李丛文（1991—），男，四川达州人，本科， 研究方向：数学与应用数学

The Study of Criterion on Convergence and Divergence of the Function Series

Zhang Qiang Pengzhiqiong Chen Jia Li Cong’wen

（College of Math and Finance-Economics， Sichuan University of Arts and Science， Dachau 635000， China）

Abstract： Series theory is an important part of the calculus theory， and its criterion on convergence and divergence is the top priority of series theory. This article mainly discusses the criterion on convergence and divergence of the function series， and gives a comprehensive discriminance on them. Moreover， this paper also formulates solutions to some typical and practical problems.

Key words： Function Series， convergence， divergence， discriminance

函数项级数的敛散性判定研究

张强 彭志琼 陈佳 李丛文

（四川文理学院 数学与财经学院 四川达州 635000）

摘要：级数理论是微积分理论的重要组成部分，其敛散性的判别又是级数理论组成部分的重中之重，该文主要论述了函数项级数的敛散性判别，较为系统全面的给出了收敛与发散的判别法，其次还对典型的实际问题给予了解决。

关键词：函数项级数；收敛；发散；判别法

中图分类号：O173文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2012）01（a）-0000-00

函数项级数

1 定义

收敛（点态）： 在零上收敛于 ， ， ， ， 有

一致收敛： ， ， ， ，

注： 点态收敛与一致收敛的区别在于一致收敛中 不依于 （或是公用的 ），而点态的收敛条件却要弱一些， 依赖于 和 ；

函数列在收敛的基础上能否成为一致收敛的问题关键就在于 ；是否能对 ，能找到公用的 且有限，即：

2 一致收敛的判别法

（I）定义： 有： ， ；

（II）柯西法：

有： ；

（III）余项趋于零： ；

（IV） 有： ，该法不可取（想象一下，需对任意的点列加以讨论，这样的工作实在太大，但对不一致收敛的判别却很有效，下面可以看到）

（V） 法： ，只需确定 收敛，则 收敛；

（VI） 法： ，若 在D上一致有界， 对 ，关于 单调趋于 ；

（VII） 法： ，若 在D上一致收敛， 对 ，关于 单调有界；

（VIII）狄尼定理：要求 在 上收敛于 （点态收敛），满足： ① 在 上连续， ② ， 关于 单调，则 在 上一致收敛于 。

其中（I）、（III）、（IV）要估计 的极限函数（和函数），对于简单容易观察的级数这些方法中（III）最有效，（IV）最不常用，其余的都不用估计和函数，常用的有方法（II）、（V）、（VI）、（VII）

3 不一致收敛的判别法

（I）柯西法： ，有

（II）子列极限（这就是前面2.2中的方法（IV）的否定形式）， ， ： ，

这样一来仍需要求和函数（ ），这里作这样的处理；在 上找一子列 ，使得 变为数项级数，若 不收敛（发散），则 必不一致收敛；

（III）余项存在不趋于 的点：

（IV）通项法：

4 问题解决

⑴研究函数列： 的敛散性

解：函数列的研究同数列等同起来，这不同于函数项级数：

极限函数

所以：原函数列收敛

⑵研究函数列： 在以下区域内的敛散性

i） ；

ii） 极限函数：

解：极限函数

i） 时，

故：不一致收敛

另： 取

发散

故： 在 上必不一致收敛，（但，是收敛的）

ii）

故： 在 上一致收敛

⑶级数：

证明：（i）在 上一致收敛 （ii）在 上不一致收敛

证明：（i） 在 上一致有界

又： 对 关于单调趋于 ，由 法判别知： 一致收敛

（ii）取点列： ，于是函数项级数变为数项级数

发散，必有 不一致收敛

⑷讨论级数 在 上的一致收敛性

观察能否求和函数，再让 ，易知能求和函数：

估计余项

故原级数收敛

⑸（i） 在 上一致收敛

（ii） 在 上收敛但不一致收敛

解：（i）分析：观察是否能求和，不能就用 法、 法、 法

有界， 单调递减趋于 ， ，关于 单调递减趋于

由 法知： 在 上一致收敛

（ii）是否能求和：

，

当然不一致收敛

⑹ 收敛；证明： 在 上一致收敛

解：分析：是否能求和，题中已给出 收敛，想到用 法，只需证： 在 ，关于 单调有界。事实上

时，

又： 單调递减

由 法知： 在 上一致收敛

5 结语

此研究比较系统的全面的给出了函数项级数的各类判别方法，对解决实际问题提供了较全面的方法和具体指导意义。其次此研究虽然只讨论到一元函数项级数，但对 元函数项级数的推广，具有一定的指导意义。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京，高等教育出版社，2010：20—43.

[2] 陈守信.考研数学分析总复习—精选名校真题[M].北京：机械工业出版社： .

[3] 王静，谭康，任秀娟.判别数项级数敛散性的一些方法和技巧[J].高等数学研究，2010（5）.