SKT不变凸非线性规划的鞍点特征研究

摘 要 首先提出了一类新的非线性规划-SKT不变凸非线性规划（简称SKT不变凸）.其次，在实线性赋范空间的基础上，给出了Fritz-John点和Fritz-John鞍点，Kuhn-Tucker点和Kuhn-Tucker鞍点的概念，并初步探讨了两类鞍点的特征.最后，围绕SKT不变凸及似凸的概念对鞍点的特征做了进一步的拓展.

关键词 SKT广义不变凸；似凸；非线性规划；F-J鞍点；K-T鞍点；充要条件

中图分类号 F273.1文献标识码 A

Abstract A new class of nonlinear programming，i.e.， SKT invariant convex nonlinear programming （abbreviated as SKT invariant convex） ，was proposed.On the basis of the real linear normed space， the concepts of Fritz-John point and Fritz-John saddle point， Kuhn-Tucker point and Kuhn-Tucker saddle point were given， and the characteristics of the two saddle points were discussed.Finally， based on the concept of SKT invariant and quasi convex， the characteristics of saddle points were further extended.

Key words SKT generalized invariant convex； pseudo-convex； nonlinear programming；F-J saddle point；K-T saddle point； necessary and sufficient condition

1 引 言

非线性规划是指具有非线性约束条件或目标函数的一类数学规划问题，是运筹学的一个重要分支.H.W.库恩和A.W.塔克于1951年发表了最优性条件（后来称为库恩-塔克条件）的论文，标志着非线性规划正式诞生.近年来，随着学科间交叉融合及数学理论边界不断扩展，非线性规划在经济、管理及工程等方面都有广泛的应用，为最优决策提供了有力的理论支撑.

由于凸性及广义凸性在经济管理及企业决策等领域所起的重要作用，关于凸性及广义凸性的研究方兴未艾.诸多学者提出不同的广义凸非线性规划概念，并借助所提出的广义凸理论来研究各类规划问题及鞍点问题.刘彩平和杨新民（2007）[1]提出了两类新的广义凸函数强预拟不变凸函数与强拟不变凸函数，并讨论了强预拟不变凸函数与强拟不变凸函数间的关系，强拟不变凸函数与强伪不变凸函数间的关系，最后研究了强预拟不变凸函数在多目标优化中的应用.王立柱（2008）[2]讨论了非线性优化中Lagrange函数的鞍点问题，证明了凸规划在一定的约束规格下鞍点总是存在的，可以通过求解鞍点问题来求凸规划的最优解，并在不等式约束条件下给出了求解鞍点的一个迭代方法.王彩玲（2011）[3]首先肯定了优化理论中鞍点定理的重要作用，并提出鞍点定理的成立主要依赖于各类广义凸函数，如Hanson的不变凸函数及Tanaka的本性伪凸函数.在此基础上，她通过对向量值函数定义一类复合Q-ρ不变凸函数和S-δ不变凸函数，将该类广义凸函数应用到非光滑多目标规划问题上，得到并证明了非光滑复合Q-ρ不变凸和S-δ不变凸多目标规划的复合向量鞍点定理.何炳生和申远（2012）[4]指出具有线性约束的凸规划问题及鞍点问题的一阶最优性条件本质上是一个单调的变分不等式，在变分不等式框架下求解这些问题，如能选取适当的矩阵G，采用G-模下的PPA算法，将会使迭代过程中的子问题求解变得相当容易，研究表明这类定制的PPA算法的误差界有1/k的收敛速率.

综上所述，在现有关于广义凸非线性规划的研究文献[5-9]中，较多学者聚焦于鞍点问题的研究，其中多数为针对鞍点性质及鞍点求解方法的研究，还鲜见针对广义不变凸非线性规划的鞍点特征研究.基于此，首先提出了一类新的非线性规划-SKT不变凸非线性规划，在实线性赋范空间的基础上，给出了Fritz-John点和Fritz-John鞍点，Kuhn-Tucker点和Kuhn-Tucker鞍点的概念，并初步探讨了两类鞍点的特征.最后，围绕SKT不变凸及似凸的概念对鞍点的特征做了一些拓展.由于对鞍点的求解一直以来是一个难点问题，通过对鞍点的特征研究来剖析鞍点的性质应该是一项有意义的工作.

5 结 论

文章围绕SKT不变凸非线性规划问题对鞍点的特征展开了一系列的研究，在实线性赋范空间的基础上，给出了两类鞍点Fritz -John鞍点和Kuhn-Tucker鞍点的概念，探讨了两类鞍点的特征；进一步，围绕SKT不变凸及似凸的概念对鞍点的特征做了拓展.

虽然关于鞍点的性质和求解方法诸多学者研究颇多，但如何找到鞍点一直以来是一个难题.通过分析鞍点的特征来了解鞍点的性质，在一定程度上能对鞍点求解难的现状起到一定的弥补作用.但本文的研究结论难以直接解决鞍点的求解问题，如何求解出SKT不变凸非线性规划问题的鞍点将是作者下一步的研究工作.

参考文献

[1] 刘彩平，杨新民.强预拟不变凸函数与强拟不变凸函数[J].经济数学，2007，24（4）：414-419.

[2] 王立柱.非线性优化中关于鞍点及对偶问题的研究[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2008，26（3）：272-274.

[3] 王彩玲.非光滑凸多目标规划的鞍点定理[J].吉林大学学报（理工版），2011，49（4）：693-695.

[4] 何炳生，申远.求解凸规划及鞍点问题定制的PPA算法及其收敛速率 [J].中国科学：数学，2012，42（5）：515-525.

[5] 赵勇，彭再云，刘顶峰，等.半B-（ p，r） -预不变凸函数与非线性规划问题[J].北华大学学报（自然科学版），2012，13（2）：153-159.

[6] 李花妮，路俊勇.G-KKT-不变凸非线性优化问题[J].西南工业大学学报，2015，35 （5）：352-354.

[7] 李师正.多目标规划的鞍点准则[J].经济数学， 2003， 20（1）：80-83.

[8] 袁松琴，李泽民.线性等式约束多目标规划的一个降维算法[J].运筹学学报，2005，9（1）：70-74.

[9] 沈海龙，邵新慧，张铁，等.求解鞍点问题的修正SOR-like方法[J].东北大学学报（自然科学版），2009，30（6）：905-908.

[10]王传涛.序线性空间中向量优化问题的K-T型定理[J].经济数学，2006，23（3）：307-310.

[11]姜林，李泽民.G-（F，ρ）凸性下的非光滑多目标分式规划弱广义Lagrange鞍点[J].经济数学，2007，24（1）：82-86.

[12]CAO Yang， MIAO Shu-xin，CUI Yan-song.A relaxed splitting preconditioner for generalized saddle point problems [J].Computational and Applied Mathematics， 2015， 34 （3）：865-879.

[13]黃龙光，刘三阳.向量映射的鞍点和Lagrange对偶问题[J].系统科学与数学，2005，25（4）：398-405.