基于能量理论的水力裂缝扩展模型研究与应用

摘要： 为了能够准确地描述裂缝扩展规律，本文通过能量分布状态规律，探讨了在裂缝扩展过程中能量的变化规律，在对裂缝扩展的建立方面给出了新的思路，并由此对裂缝扩展驱动力给出了相对应的表达式。提出了有关裂缝扩展驱动力的裂缝扩展准则，建立了关于裂缝扩展速率计算模型。实例计算结果表明，该模型计算结果与实际吻合较好。

Abstract： In order to accurately describe the law of fracture propagation， the article， from the energy distribution， presents a new idea about establishing the criterion of crack propagation， explores the regulation of energy changes in the fracture propagation process and then obtains the relevant expression of driving force of fracture propagation. At the same time， the criterion of crack propagation with the expression of driving force of fracture propagation is put forward， and the calculation model of crack propagation rates is built. The calculating result is accurate and agrees well with practical ones.

关键词： 水力压裂；裂缝扩展；能量守恒

Key words： hydraulic fracturing；crack propagation；conservation of energy

中图分类号：TE371 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）23-0327-02

0 引言

裂缝形状跟踪法是人们为了精确预测裂缝的扩展提出的一种方法。在三维有限单位法的前提下，Smith和Cooper在1989年率先进行了非穿透裂缝的相关计算[1]；对于三维疲劳裂缝扩展，邓建刚等用边界元法进行数值模拟[2]；

结合Forman公式，易当祥等用双重边界元法对扭力轴表面的疲劳扩展进行数值仿真[3]；总体上来说，沿着板面方向和垂直板面方向椭圆裂缝半轴端点裂缝扩展速率都是被平面应力状态与平面应变状态下的二维疲劳裂缝扩展速率公式来分别表示的，其理论基础是Paris公式。

1 裂缝扩展能量规律

由热力学第一定律对于单位体积的弹性压裂岩体，可得到能量守恒方程如下：

■=■■dV-■Q■n■dA+■P■du■（1）

式中，E表示单位体积压裂岩体中的弹性应变能；R表示在单位体积压裂岩体中的塑性应变能；Qi表示在支撑剂吸收的能量和压裂液滤失的过程中在单位面积和单位时间内流失的热量，Qi=Ub+∏w；Pi表示为作用在岩体上做功的广义外力；ui表示为压裂岩体在变形后的位移量；M为作用在岩体上广义外力的数目。

由于裂缝在扩展的过程中具有不可逆性，在均匀温度场的条件下，根据热力学中介质熵的定义，引入了裂缝弹性岩体的熵S，其数值随时间的变化率如下：

■=■■■dV-■■Q■n■dA+■■G■■（2）

式中，T为热力学绝对温度；Gi为裂缝扩展驱动力；ai为扩展裂缝的尺寸。

2 裂缝扩展方程

裂缝扩展阻力函数可表示成齐次函数：

f（G1，G2）=G■■+ηG■■（3）

式中，m与η为待定的材料常数。

在裂缝扩展过程中，根据极限推理法，如果裂缝尺寸比■→0时，则：

■+■=1（4）

根据裂缝扩展的能量原理，裂缝后续扩展过程中，含裂缝有限大体中，根据极限推理方法，可得：

G■■=FR（5）

ηG■■=FR（6）

式中，G1R与G2R分别表示沿x1与x2虚拟穿透裂缝时后续的扩展驱动力，同时

FR=FR（Wa）（7）

这里，Wa为广义驱动力Gi所做的功：

Wa=■Gidai（8）

由式（5）及式（6），可得

η=■（9）

整理可得：

■+■=1（10）

式（10）即为裂缝后续扩展方程。

3 实例研究

取一个椭圆，其长轴为2×79m，短轴为2×60m，假定油井位于椭圆的圆心，裂缝从油井开始沿角度向外进行扩展，最终与椭圆外边界相交，然后沿长轴方向扩展。在对A井组的模拟过程中，A井的裂缝总长度取裂缝预测时的长度，Lf=130m。

A井模拟的不同裂缝扩展情况下产液量动态曲线如图1所示。由产量的变化曲线图可以看出，在第二种情况、第三种情况、第四种情况下预测的产液量均与实测产液量有较好的拟合。而第一种情况（？准=45°）与A井的实际动态相差较大。综合上面的模拟结果可以得出这样的认识：预测得到的水力压裂裂缝的扩展规律基本可以代表实际裂缝的扩展情况。

4 结论

①通过裂缝扩展准则，推导出了裂缝扩展速率的表达式。②根据最小耗能原理，研究了裂缝扩展过程中能量的变化规律，提出了裂缝扩展准则的新思路。③根据热力学第一定律推导出裂缝扩展能量守恒方程，进而得到与其对应的裂缝扩展驱动力表达式。

参考文献：

[1]Smith R A， Cooper J F.A finite element model for the shape development of irregular planar cracks[J].Int J Pres Ves and Piping.1989，36（04）：315-326.

[2]邓建刚，蒋和洋，黎在良等.三维裂缝扩展轨迹的边界元数值模拟[J].应用力学学报，2003，20（02）：49-53.

[3]易当祥，刘春和，封艳文等.扭力轴三维裂缝扩展寿命仿真研究[J].应用力学学报，2008，25（03）：411-414.