导数的经济意义及在经济分析中的应用

【摘要】导数在经济领域中的应用非常广泛,运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、弹性分析和优化分析,从而为企业经营者进行科学决策提供量化依据。

【关键词】导数边际分析弹性分析最优化分析

一个企业或者一个商店最关心的是如何以最小成本达到利润最大。经济学中常用到边际概念分析一个变量y关于另一个变量x的变化情况。边际概念是当x在某一给定值的附近发生微小变化时y的变化情况,它发映了y的瞬间的变化,而刻画这种瞬间微小变化的数学工具便是导数。

一、导数的概念

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δ)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f"(x0),即

f"(x0)==。

若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记f"(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数(简称导数)。

二、经济分析中常用的函数

1、需求函数与供给函数

(1)需求函数。设Q表示某种商品的需求量,P表示此种商品的价格,则用Q=f(P)表示对某种商品的需求函数。一般来说,对某种商品的需求量Q随价格减少而增加,随价格增加而减少,所以需求函数是单调减少的函数。

(2)供给函数。站在卖方的立场上,设Q表示对某种商品的供给量,P表示此种商品的价格,则用Q=F(P)表示某种商品的供给函数。一般来说,作为卖方,对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加,随价格P的减少而减少,所以供给函数是单调增加的函数。

2、成本函数与平均成本函数

(1)成本函数。产品的成本一般有两类:一类随产品的数量变化,如需要的劳动力,消耗的原料等;这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变,如房屋、设备的折旧费、保险费等,称为固定成本。设Q为某种产品的产量,C为生产此种产品的成本,生产每个单位产品的成本为a,固定成本为C0,则成本函数为C=C(Q)=aQ+C0。

(2)平均成本函数。用C=C(Q)=表示每单位的平均成本函数。

3、价格函数、收入函数和利润函数

(1)价格函数。在厂商理论中,强调的是既定需求下的价格。在这种情况下,价格是需求量的函数,表示为P=P(Q)。要注意的是需求函数Q=f(P)与价格函数P=P(Q)是互为反函数的关系。

(2)收入函数。在商业活动中,一定时期内的收益,就是指商品售出后的收入,记为R。因此,收入函数为R=R(Q)=PQ。其中Q表示销售量,P表示价格。

(3)利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分,记为L。则L=L(Q)=R(Q)-C(Q)。其中Q表示产品的的数量,R(Q)表示收入,C(Q)表示成本。

三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用

1、边际分析

边际概念是经济学中的一个重要概念,通常指经济变量的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,即边际分析方法,是经济理论中的一个重要分析方法。

一般地,设函数y=f(x)可导,则导数f"(x)叫做边际函数。成本函数C=C(Q)的导数C"(Q)叫做边际成本,其经济意义为当产量为Q时再生产一个单位的产品所增加的总成本;收入函数R=R(Q)的导数R"(Q)叫做边际收入,其经济意义为当销售量为Q时再多销售一个单位产品所增加的销售总收入;利润函数L=L(Q)的导数L"(Q)叫做边际利润,其经济意义近似等于产量(或销售量)为Q时再多生产(或多销售)一个单位产品所增加(或减少)的利润。

例如:某企业每月生产的总成本C(千元)是产量Q(吨)的函数C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解:因为利润函数为:L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-10Q+20)=-Q2+30Q-20。所以边际利润为L"(Q)=(-Q2+30Q-20)"=-2Q

+30。于是L"(8)=-2×8+30=14(千元/吨),L"(10)=-2×10+30=10(千元/吨),L"(15)=-2×15+30=0(千元/吨),L"(20)=-2×20+30=-10(千元/吨)。

以上结果表明:当月产量为8吨时,再生产1吨,利润将增加14000元;当月产量为10吨时,再生产1吨,则利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再生产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再生产1吨,利润反而减少1万元。实际上,该题的边际利润函数L"(Q)=-2Q+30在Q>15时小于0,所以利润函数是单调减少的,随着产量的增加,利润将减少。显然,该企业不能完全依靠增加产量来提高利润,搞得不好,还会造成生产越多,亏损越大的局面。那么保持怎样的产量才能使该企业获得最大利润呢?由微观经济学的知识可知:在该题中当R"(Q)=C"(Q),即L"(Q)=0,Q=15时,也就是该企业把月产量定在15吨,此时的总利润最大为:L(15)=-152+30×15-20=205(万元)。

2、弹性分析

弹性概念是经济学中的另一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。或者说,一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。

(1)弹性的定义。设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,当?驻x→0时的极限称为函数y=f(x)在点处的相对变化率,或称为弹性函数。记为Ex=f"(x)。

(2)需求价格弹性的概念。经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性。记为E=Q"(P)。由于需求函数是价格的递减函数,所以需求弹性E一般为负值。其经济意义为:当某种商品的价格下降(或上升)1%时,其需求量将增加(或减少)|E|%。当E=-1(即|E|=1)时,称为单位弹性。即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等,例如报纸。当E<-1(即|E|>1)时,称为富有弹性。即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化,此时价格的变化对需求量的影响较大。换句话说,适当降价会使需求量有较大幅度上升,从而增加收入。例如空调、汽车等高档生活用品,包括旅游和专业服务等。需求富有弹性的商品价格下降而总收益增加,就是我们一般所说的“薄利多销”的原因所在。“薄利”就是降价,降价能“多销”, “多销”则会增加总收益,所以,能够作到薄利多销的商品是需求富有弹性的商品。需求富有弹性的商品价格上升而总收益减少,说明了这类商品如果调价不当,则会带来损失。例如,1979年我国农副产品调价,猪肉上调20%左右,在当时我国人民的生活水平下,猪肉的需求富有弹性,猪肉涨价后人们的部分购买力转向其他代用品,猪肉的需求量迅速下降。国家不得不将一些三、四级猪肉降价出售,加上库存积压,财政损失20多亿;再加上农副产品提价后给职工的补助20多亿,财政支出增加40多亿。当-1

在商品经济中,商品经营者关心的是提价(?驻p>0)或降价(?驻p<0)对总收益的影响。利用需求弹性的概念,可以得出价格变动如何影响销售收益的结论。

例如:(2004年考研题)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量。

①求需求量对价格的弹性E(E>0)。

②推导=Q(1-E)(其中R为收益),并用弹性E说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加。

解:①由Q=100-5P知Q"(P)=-5<0。因为E>0,所以:

E=×Q"=×(-5)==。

②由R=PQ得=Q+PQ"=Q(1+Q")=Q(1-E)。又由E==1,得P=10。于是,当101,即<0。故当10

总之,企业在制定或变动产品价格时,一定要考虑到自己产品需求价格弹性的大小,这样才能更好地利用价格策略增强竞争力。

3、优化分析

最优化问题是经济管理活动的核心,通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题。例如:(1997年考研题)一商家销售某种商品的价格满足关系P=7-0.2x(万元/吨),销售量(单位:吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元)。

(1)若每销售1吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获得最大利润时的销售量;

(2)t为何值时,政府税收总额最大?

解:(1)设T为总税额,则T=tx。商品销售总收入为R=Px

=(7-0.2x)x=7x-0.2x2。于是得利润为L=R-C-T=7x-0.2x2-

3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1。求导,得L"=-0.4+4-t,L"=-0.4。令L"=0,解得x=(4-t)。

因为L"<0,所以x=(4-t)即为利润最大时的销售量。

(2)将x=(4-t)代入T=t,得T=t×=10t-t2。

由T"(t)=10-5t=0,得唯一驻点t=2,又T"(t)=-5<0,即当t=2时T有极大值,从而L也有最大值。故当t=2时,政府税收总额最大。

综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将导数作为分析工具,可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角。

【参考文献】

[1] 万解秋:试论需求效用学说对我国价格制度改革的作用[J].世界经济文汇,1985(4).

[2] 彭文学:经济数学基础[M].武汉:武汉大学出版社,1997.

[3] 龚德恩:经济数学基础[M].四川:四川人民出版社,1996.

[4] 黄亚钧:微观经济学[M].北京:高等教育出版社,2000.

(实习编辑:唐石泉)