动力学系统最优控制的离散方法

摘 要

动力学系统的最优控制是动力学与控制领域的典型问题，最优控制的数学模型通常可表示为带非线性约束的优化问题，针对具体问题的数值解对工程中的控制具有重要的实用价值。直接对优化问题的目标函数和约束条件进行离散能够很好的保持系统的物理特性，数学表达也更为简洁。在得到离散化的方程后，可采用序列二次规划、内点法等算法求得优化问题的数值解。

【关键词】最优控制 离散 动力学

1 动力学系统的最优控制

动力学主要研究物体运动和作用于物体的驱动力之间的关系，是很多工程学科的基础。动力学系统在驱动力的作用下，产生平移旋转运动。运动过程中各部件之间的相互位置和约束关系决定了系统的动力学特性。由于工程中的很多控制问题都可以归结为最优控制，在动力学系统的研究领域中最优控制历来是研究的热点。其研究目标是如何选择控制规律从而使系统运动时的性能指标最小。典型的最优控制的实例如机械手臂在装配零件过程中移动时间最短，航天飞船在着陆过程中速度最小等。通过设计合理的目标函数，结合动力学系统的约束条件，建立最优控制模型，在给定初始和终止状态的前提下，通过数值计算得到最优的目标和相应的控制规律。优化目标的达成，对于节约能源、提高系统运行效率具有重要的工程意义。

2 离散方法

动力学系统最优控制的模型方程可表示为带非线性约束的优化问题，此类问题为典型的逆问题，没有解析解。通常需要给定系统的相关参数进行数值求解，主要的求解步骤包括变分和离散。变分的作用是通过求解极值函数的必要条件，使泛函取得极值。离散的主要作用是实现时间上的分段式、数字式的精确控制。根据求解过程中离散和变分的先后顺序，求解动力学系统最优控制问题的方法可分为间接法和直接法两大类。其中，通过直接对目标函数和约束条件进行离散的最优控制模型成为近年来的研究热点。由于离散方程可以更好的符合动力学系统的物理规律，并且可以在计算过程中根据实际需要采用不同的积分方法，以获得更精确的优化结果。在对目标函数和约束条件进行离散时，通过将时间划分成非常小的间隔，在每一个间隔内对函数、微分方程、积分方程进行近似。时间间隔越小，近似程度越好，计算精度越高，但同时数值计算的代价越高。所以在实际的数值计算中，需要在计算精度和效率之间取得平衡。

2.1 目标函数的离散

最优控制模型中目标函数的意义在于使某个或某些性能指标最优。当前，单目标优化是主要的研究内容，即在目标函数中只包含某一个特定的变量，通过变量的积分形式表示系统的驱动力最小或运动时间最短等。如果要同时满足多个目标，则需要在设计目标函数中综合考虑不同的变量，并针对具体的问题设计不同变量的权重。对于单目标函数的离散只需要采用简单的差分公式，利用离散步长对离散变量进行累加即可代替连续变量的积分形式。

2.2 约束条件的离散

动力学系统的约束条件包括几个方面：一是系统的初始和终止状态，即初始时和终止时的位置和速度；二是系统在运行过程中满足的动力学定律，通常用达朗贝尔原理表示；三是系统各个部件之间的相对位置关系，根据部件之间的组合关系可表示为几何约束。第一种约束只包含两个特定点的状态，本身就是离散的。第二种约束可通过变分转化为若干离散点的微分代数方程，第三种约束为基本的代数方程，可以直接离散，也可以通过引入零空间降维后再离散，从而使约束方程的规模减小。

3 动力学系统最优控制离散方法的主要研究问题

动力学系统最优控制的求解步骤包括建立数学模型、选择合适的算法进行数值求解。离散方法首先对连续系统的数学模型进行时间离散，建立起离散模型，然后对离散化的方程进行数值求解。离散动力学最优控制的主要研究问题包括数学模型的建立、数值算法的设计和编程环境的选择。

3.1 数学模型

最优控制模型中包括目标函数和约束条件。连续系统的目标函数通常表示为某变量的积分形式，离散后转化为离散点对应变量的累加形式，方程简单，易于计算。约束条件根据问题的性质不同，形式也有所不同，初始、终止状态及达朗贝尔原理的变分形式、几何约束都是等式形式。有些问题的约束条件中也可以包含不等式，如飞行器的运行轨迹要求避开某特定区域，则只需要在优化问题的约束条件中添加系统坐标和飞行禁区坐标之间的不等式约束即可。此外，通过在相邻离散点之间插入内部控制结点，建立高阶模型，可实现对动力学系统的自动保辛，精度更高。

3.2 数值算法

经过离散之后的最优控制模型中包括离散坐标和离散控制力在内的所有离散变量。典型的最优控制模型的目标函数是离散控制力的累加形式，即控制力的总量。所有的约束条件都可表示为离散坐标、离散力的等式或不等式形式。综合目标函数和约束条件，动力学系统的最优控制模型可归结为数学规划中的二次规划或非线性规划。其基本的数值算法包括标准序列二次规划算法、内点法、有效集算法等。所有算法的基本思想都是在给定初始状态下，通过反复迭代使结果逐步走向最优。不同算法的求解步骤、适合问题的规模、收敛速度、稳定性有所不同，需要根据问题的性质选择。

3.3 计算与仿真环境

MATLAB是离散动力学最优控制问题数值求解的首选编程与仿真环境。一方面，离散之后动力学系统所包含的离散变量非常多，适合用矩阵形式表示，另一方面，MATLAB中也包含了一些标准的优化算法，可直接调用。此外，MATLAB的曲线绘制功能也可以将优化结果快速直观的展示出来。如果要建立更复杂的系统模型、获取更高的运算速度和更精准的控制，动力学系统的建模语言AMPL可用于系统数学模型的建立，数值求解时也可利用第三方的软件包如非线性规划求解器IPOPT。

4 总结

通过首先对动力学系统的最优控制数学模型中的目标函数和约束条件直接进行离散，可以得到包含离散变量的数学模型。离散的模型不仅在数学上与连续系统等价，还能更好的保持物理特性。针对离散模型方程的特点，可选择序列二次规划、内点法等算法进行数值求解。

参考文献

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[5]胡寿松.最优控制理论与系统（第二版） [M].北京：科学出版社，2005.

作者单位

1.青岛科技大学机电工程学院 山东省青岛市 266061

2.青岛大学信息工程学院 山东省青岛市 266071