计算星期几问题的数学模型

摘 要： 本文应用数论的同余理论和高斯函数，建立计算任意给定的公元m年n月k日星期数的数学模型.

关键词： 计算 星期几 数学模型

要求几十天后是星期几，只需计算被7除所得余数即可.但要求任意的公元m年n月k日是星期几，就比较麻烦.因为有闰年，需要建立一个便于计算的数学模型.

公元1600年以来，全世界大部分地区都使用现行公历历法.平年有365天，二月有28天.闰年则有366天，二月有29天.除二月外，平年、闰年的其他月份，小月各有30天，大月各有31天.闰年的确定：公元年份数能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除，这些年份为闰年，其他均不闰.如果某年是闰年，其二月比平年的二月多一天，从该年的三月一日开始，星期数都受到影响，但一月、二月里的星期数不受影响.因此，我们把三月一日作为计算星期数的基点.为讨论方便，先约定记号：

m=100x+y表示年份，其中0≤y≤99；n表示月份，3≤n≤14，其中n=13表示m+1年的1月，n=14表示m+1年的2月；k表示日期，w（m，n-2，k）表示公元m年n月k日的星期数.分三步建立数学模型：

第一步：先建立“计算公元m年3月1日星期数”的数学模型.要找到从1600年起使用的计算w（m，3-2，1）即“公元m年3月1日的星期数”的公式，先假设w（1600，3-2，1）是已知的，由数论知识知：365≡1（mod7），故每过一个平年，星期数就增加1；每过一个闰年，星期数就增加2.若用s表示从公元1600年到公元m年的闰年数，立得：w（m，3-2，1）≡w（1600，3-2，1）+（m-1600）+s（mod7）.（1）

由闰年的确定方法，根据数论中高斯函数的定义知：

（其中：m=100x+y）（5）

第二步：再建立“计算公元m年n月1日星期数”的数学模型.注意到本文开头n的取值约定，考虑到大、小月天数，容易知道m年其余各月的星期数：

4月1日的星期数为：w（m，4-2，1）≡w（m，3-2，1）+3（mod7）；5月1日的星期数为：w（m，5-2，1）≡w（m，4-2，1）+5（mod7）；6月1日的星期数为：w（m，6-2，1）≡w（m，5-2，1）+8（mod7）；7月1日的星期数为：w（m，7-2，1）≡w（m，6-2，1）+10（mod7）；8月1日的星期数为：w（m，8-2，1）≡w（m，7-2，1）+13（mod7）；9月1日的星期数为：w（m，9-2，1）≡w（m，8-2，1）+16（mod7）；10月1日的星期数为：w（m，10-2，1）≡w（m，9-2，1）+18（mod7）；11月1日的星期数为：w（m，11-2，1）≡w（m，10-2，1）+21（mod7）；12月1日的星期数为：w（m，12-2，1）≡w（m，11-2，1）+23（mod7），

而m+1年1月1日的星期数为：w（m，13-2，1）≡w（m，12-2，1）+26（mod7），

m+1年2月1日的星期数为：w（m，14-2，1）≡w（m，13-2，1）+29（mod7）.

由上可知，从m年3月1日到m+1年2月1日的11个月中，星期数“增加”了29天，平均每月“增加”约2.6天.构造高斯函数：f（n-2）=[2.6（n-2）-0.2]-2，经过验证，发现它完全满足这些条件：f（3-2）=0，f（4-2）=3，f（5-2）=5，…，f（14-2）=29.从而得到“计算公元m年n月1日星期数”的数学模型：w（m，n-2，1）≡w（m，3-2，1）+[2.6（n-2）-0.2]-2（mod7）.

第三步：最终建立“计算m年n月k日星期数”的数学模型.显然，m年n月k日的星期数是：w（m，n-2，k）≡（m年n月1日的星期数）+（k-1）≡w（m，3-2，1）+[2.6（n-2）-0.2]+（k–3）（mod7），由（5）式，立得“计算m年n月k日星期数”的数学模型：

w（m，n-2，k）≡k+5x+y+[2.6（n-2）-0.2]（mod7） （6）

（m=100x+y，3≤n≤14，其中：n=13表示m+1年的1月，n=14表示m+1年的2月.）

特别注意：①计算公元m年1月k日和2月k日的星期数（即n=13，14）时，（6）式中的年份数要用m-1，而不是m.②公式中的中括号表示高斯函数，其值取整数部分.

例问：公元2018年2月24日是星期几？

解：因为2月对应n=14，所以对应的年份数m=2018-1=2017，x=20，y=17，k=24，代入（6）式，得：

w（2017，14-2，24）≡24+5×20+17+[2.6×（14-2）–0.2]≡6（mod7），

即2018年2月24日是星期六.

参考文献：

[1]王进明主编.初等数论[M].人民教育出版社，2002.12，第一版.