思维最重要

杨虎 数学奥林匹克高级教练，现任北京四中数学奥林匹克主教练，北京市CMO代表队教练员，曾获得高中数学联赛省级第一。在中学任教二十多年，对大学自主选拔问题有较高造诣。

自主选拔是近年来大学招生一种非常重要的选拔方式，主要是为了选拔更适合大学教育的优秀学生，招收具有学科特长，以及综合素质全面且具有创新潜质的优秀高中毕业生。

自主选拔考试命题思路异于高考，更注重跨学科综合和创新思维，充分结合社会热点，考试难度略大于高考但小于学科竞赛。目前自主选拔以“北约”、“华约”为龙头，现就2012年这两大联盟为主体的考试特点做一个大体分析。

首先，内容基本涉猎中学重要知识点，但“北约”、“华约”的试题难度差别较大。

自主选拔考试分为笔试和面试两部分，其中笔试并没有统一的命题大纲，原则上为高考考试大纲主体要求的内容。

2012年“北约”试题难度较往年没有太大变化，整体难度略高于2011年，内容涵盖代数和几何的主要方面。和前两年相比，北约虽然保留了命题权，但阅卷权已经移交给考试院，于是在数学考试中从往常的五道大题变成了六道选择题和三道解答题的形式。

选择题中有三道考代数，分别涉及数列、函数和方程，另外三道题分别考解析几何、平面几何（与三角相关）和组合问题（带有初等数论的基本应用），总体上难度不大，只要具备相应的基础知识，利用直观思维和基本技巧就可以解决。三道解答题，第一题考查三角函数的性质，属于中学教学中的常规问题，对学生来说比较适应；第二题的平面几何也十分简单，不过实际上很多同学做得并不理想，从调查情况来看失分比较严重，这一方面是因为学生的思维局限性较大，另一方面是因为现行教学中对平面几何的要求比原来有较大降低；第三题则用的是清华大学夏令营原题。尽管如此，这三个问题还是比较符合“北约”注重数学思想方法的风格，题目描述简单，要求对常用的数学思想方法有一定造诣。如果解题方向想到了，解答就比较简单。从整体而言，试题难度向高考偏转的风向已经形成。

从某种程度来说，“北约”这几年的试题有难度逐渐降低和相对稳定的趋势。由于自主选拔的特点，以后几年的试题难度预测也不会有太大起伏，但是题目的数量和结构格式可能会有一定变化。这是由高中各种学科竞赛省级一等奖不再具有保送资格，全部进入自主选拔行列并具有优先权所发挥的作用。

“华约”试题采用的是一种确定结构并进行抽签选择试卷的方式，所以2012年“华约”数学试题的整体结构仍然和前几年相同，采用十道选择题和五道解答题的模式。不过，由于自主选拔的总体特点和没有固定的教学要求，“华约”题目的灵活性远远高于高考，涉及的内容虽然也是同样的知识点，但难度明显提高。五道大题涵盖了三角函数、解析几何、概率问题、数列中的函数思想、数学归纳法的应用以及组合数学的应用，试题难度起伏较大，前三题还可以说是在高考要求的范围内，而后两题的难度则超过了高考压轴题的难度，是从数学竞赛的问题中引申和过渡过来的，从调查情况来看，学生的数学分数明显偏低。实际上，近几年来“华约”的数学难度系数一直维持在0.4左右，比预期的成绩有一定差距。

其次，问题解决的过程中体现了重要的数学思维。

尽管2012年“北约”、“华约”的数学考试侧重点不同，各有各的特点，但是不管如何考查，二者均在考题的设置上体现了一些重要的数学思想方法和数学思维方式，均以高中常见的数学方法为主体，基本上可以分为两个层次：基本问题一般以高考中常见的数学思想方法为主体，在基本的三角函数和解析几何的大题解法上具有“常规性”；“华约”的概率问题则是值得大家思考的题目，体现了高考题的思维形式。两者的综合问题解答中都体现了构造转化、加强命题、逐步调整、特征根法等数学竞赛中常用的一些较高层次的数学思维方式和数学思想方法。例如：

（2012年北约第9题）证明：的任何正整数次幂均可写成的形式，其中为正整数。

在这个问题的解答过程中，构造数列 ，然后逆用特征根法，问题即可以得到解决。特征根法和构造法是数学竞赛问题的基本解决方法，有竞赛基础的同学可能会有一定优势，另外，数学基本功较为扎实，且对二项式定理的展开式有较深了解的同学也可以找到解决问题的方法。

（2012年华约第14题）函数

证明：当n是偶数时，方程fn（x）=0没有实根；当n是奇数时，方程fn（x）=0有唯一的实根θn，且θn>θn+2。

（2012年华约第15题）某乒乓球培训班共有n（n≥2）位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定n的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

这两个问题均源自于数学竞赛，所以在解决问题时，第14题采用加强命题的方法并对n进行归纳证明。加强命题：方程fn（x）=0在n为偶数时恒大于0，在n为奇数时恒单调且可以遍取全体实数时即可。这种转化就把一个复杂的问题化解为关于函数的最值问题和单调性判断的问题，只要利用微积分和数学归纳法即可解决这样的问题。而第15题则利用反证法的思想，进行构造和归纳法进行证明，即可得出本题的结果。

总体来说，2012年“华约”数学试题和数学竞赛的贴近程度比较高，如果按照这个趋势，自主选拔数学试题与数学竞赛将会出现一定量的“吻合”情况。不过到底如何变化，也是一个值得思考的问题，会不会变成另一种变相的竞赛，我认为是不太可能的。自主选拔是变化多样的，用真正具有挑战性的想法去考察学生，并且在命题环节上，人员组成也并不是一成不变的。

2013年“华约”数学考试可能会出现一些变化，但无论如何，试题难度应该在一定程度上比2012年有所降低，但基本的考查思想不会有大的变化，题目难度也应该是介于高考和竞赛之间。2013年是中学各科竞赛省级一等奖保送的最后一年，从2014年起，自主选拔考试将成为大多数学生最重要的考试，届时各科一等奖学生也会加入到自主选拔大军中来。自主选拔考试难度将如何设定，考察的侧重点应该放在什么地方，这些在2013年自主选拔考试中应该会有一定的探究。从已得知的信息来看，2013年“华约”将重新考虑命题设置，会分析这几年的得失并加以改进，但考察学生数学思想及内涵的宗旨不会改变。学生接触数学竞赛，只是自主选拔获得优秀成绩的一个重要途径，但不是包打天下的“葵花宝典”，而扎实的数学基本功和灵活的数学思维能力，才是真正助益学习的“九阳真经”。