枯树生花于“黎曼猜想之ζ零点分布”（一）

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摘 要：作者非常自信自己完美地证明了仅剩的最后一个黎曼猜想[1]——ζ函数的零点分布假设。他的这种自信既来自于公理集合论中“任意无穷集合，它们的势都相等[2]”的这个经典定理，也来自于黎曼ζ函数所含有的一个重要性质，更来自于他的“双定理论”，还来自于他坚信自己曾经绝妙地证明了大众化的百年难题——哥德巴赫猜想。

关键词：黎曼猜想；ζ函数的零点分布假设；集合的势；无穷集合；双定理论

中图分类号：O156.2， 文献标识码：A

Proof of Riemann hypothesis about non-trivial zeros of the ζ function also let the old methods produce new vitality（1）

MaXianghu

Abstract：The author is very confident himself perfectly proved the Riemann hypothesis of the ζ（or zeta） function nontrivial zeros distribution . His confidence comes from axiomatic set theory "Any two different infinite sets always have the same cardinality" this classical theorem， also from an important properties of the Riemann zeta function， also from his "the theory of double fixed nature"，and also from his firm belief ，？that is because he had proved the problem that everyone understand but hundreds of years still not been solved，that is the Goldbach Conjecture.

Key words：the Riemann Hypothesis；the Hypotheses about the ζ function nontrivial zeros distribution；cardinality of set；Infinite set；the theory of double fixed nature

0 引言

0.1 导航

本人对这个黎曼猜想的完整证明分为若干步骤，并将这些步骤分在两篇文章《枯树生花于“黎曼猜想之ζ零点分布”（一）》和《枯树生花于“黎曼猜想之ζ零点分布”（二）》里面依次先后发表，敬请关注。

0.2 标题释疑

本文标题为什么使用“枯树生花”一词？一是因为本证明的灵感来自于古老的集合论，二是因为我先前证明的数学难题也用了“枯树生花”一词。

0.3 什么是：黎曼猜想？ζ函数？ζ函数的零点分布假设？

早在 1749 年，著名数学家欧拉就研究了如下实变量形式的式子：

并且欧拉证明了当 s>1 时，上述式子是恒等式。

这里表示对所有素数p求连乘积。而黎曼 1859 年创新的将变量 s 看作复变量，并引进记号：

这就是黎曼ζ函数，也简称为ζ函数，以该函数为分析的出发点，产生了若干猜想，其中一个重要猜想是说它的所有非平凡零点都位于Re（s）=1/2这条直线上。这就是如今人们所指的黎曼猜想，其实准确的说应该把它叫做ζ函数的零点分布假设。

0.4 集合论[3]

集合论主要是研究无穷集合和超穷数的数学理论。人类对于无穷的认识经历了漫长的过程。在数学里遇到的无穷主要有：无穷过程、无穷小和无穷大。

中国古代时期和西方希腊时期，当时的数学家已接触到了无穷过程和无穷小，但是还没办法掌握其规律，对它们不具有本质上的认识。因为，唯有能够作数学的处理、能够进行运算，这样的无穷概念才能算作严格意义上的数学对象。

17世纪中期微积分问世之后，由于使用了无穷小增量，引起了对无穷小的讨论，随即也遭到了唯心主义的攻击。同时在无穷级数求和问题上也遇到了困难。到了19世纪20年代，哥西（A.L.Cauchy，1789-1857）吸取了前人的经验，通过明确了收敛性、极限等许多概念建立了极限理论。极限理论明确了收敛性的判断方法，让人们对于无穷过程有了本质的认识，初步掌握了它的规律。极限论对于无穷小也给与了明确的说明，即一种取值任意小而趋于零的变量。不过，极限论有其使人遗憾的后果和不足之处。既然无穷小有了明确的解释，数学家们就认为这是唯一的解释，从此否定了作为数量的实无穷小。直至20世纪60年代通过模型论的方法，既非零又非有限数量的无穷小量才又作为科学的数量重新得到肯定，并在此基础上建立了非标准分析。极限理论的令人遗憾的后果终于得到了纠正。不足之处是，哥西没有给出无理数的定义，缺少一个实数系作为极限论的根据，因此一个以无理数为极限的无穷序列也就找不到它的极限。这个不足之处直到魏尔斯特思（K.Weierstrass，1815-1897），戴徳金（R.Dedekind，1831-l916）和康托尔给出无理数定义后才得到完全的解决。对无穷大来说，极限论只是简单地把它理解为取值可以无限增长的变量，对于无穷大数量，极限论没有进一步阐明。无穷大数量和集合的研究一直到19世纪70年代才开始发展起来。

19世纪70年代前，数学分析理论的研究要求对不连续函数和连续统进一步深入的理解，这都牵涉到无穷集合问题，当时有一部分数学家对其进行了研究。康托尔是第一个获得成熟结果的，至此，集合论也因此而正式面世了。

0.5 集合[4]

集合，简单的说就是由直观或思维的对象（也称作“元素”）所决定的总体。

其实，集合是一个不能够精确定义的基本概念。直观地讲，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫做集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如：

方程x^3-x^2+x-1=0的实数解集合；

24个希腊字母的集合；

复平面上所有点的集合；

……

集合通常用大写的英文字母来表示，比如自然数集合N（在离散数学中把0也看做自然数），整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

表示一个集合的方法主要有两种：列举元素法和谓词表示法。前者的方法就是列出集合的所有元素，规定元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。譬如：

W={a，b，c，……，z}

Z={0，±1，±2，…}

都是合理的表示。谓词表示法则是用谓词来概括描述集合中元素的属性。比如：集合B={x|x∈R∧x^2-4=0}

就是表示了x^2-4=0这个方程的实数解集。大多集合都可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-2，2}。但是有一些集合不能够用列举元素法进行表示，如实数集合。

集合的元素不允许重复，必须要求彼此不同，假若同一个元素在集合中多次出现则认为是一个元素，例如：{1，2，3，3，3}={1，2，3}

集合的元素可以是无序的，如：

{a，b，c}={c，a，b}

现在很多著作所采用的体系一般都规定：集合的元素都是集合。元素和集合之间的关系是隶属关系，即：属于或不属于，属于记作∈，不属于记作。比如：M={1，{2，3}，4，{{4}}}

这里1∈M，{2，3}∈M，4∈M，{{4}}∈M，但2M。{4}M。2和{4}是M的元素的元素。可以使用树形图来区别该隶属关系。此图是分层构成的，毎一个层的结点都表示一个集合，它的儿子则是它的元素。因此，集合M的树形图就可以如图（图1）所示。

空集是任意集合的元素，因此，图中的1，2，3，4也是集合。由于这个问题与1，2，3，4的元素无关，所以没有列出它们的元素。对于集合的元素都是集合这一规定。隶属关系则能够看做是处在不同层次上的集合之间的关系。

考虑到体系上的严谨性，我们应该规定：任何集合A都有AA。

0.6 集合的势[5]

简单的说，集合的势是对集合的一种度量，它刻划了集合所含元素的多寡。

0.7 无穷集合[6]

无穷集合：对于集合s，如果存在自然数n及n与s之间的一个双射函数f（即s恰有n个元素），则称s为有穷集合。否则，就称s为无穷集合。

0.8 插花

很有必要借此宝贵的机会，把网上的几大论文数据库网站所刊登的文章《枯树生花于“哥德巴赫猜想”》里面的8处编排错误更正一下，以便于专家们和读者朋友们的研判和检阅，同时也能够让大家更多的了解我和支持我。长话短说，这8个更正的情况如图（图2）所示：

0.9 待续

我对黎曼猜想的证明先暂时介绍至此。精彩的、核心的部分将在《枯树生花于“黎曼猜想之ζ零点分布”（二）》里进行详细介绍，譬如“双定理论”。不过，大家如果利用我在上面摘要里的介绍，应该能够提前猜出我证明黎曼猜想的基本思路。

参考文献

[1]卢昌海.黎曼猜想漫谈[M].（北京）清华大学出版社，2012-08：1-2.

[2][5][6]张锦文.公理集合论导引[M].（北京）科学出版社，1999-02-01：128.

[3]王宪均. 数理逻辑引论[M].（北京）北京大学出版社，1982：292-293.

[4]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].（北京）高等教育出版社，2008：83-84.

[5]张锦文.公理集合论导引[M].（北京）科学出版社，1999-02-01：115.

[6]张锦文.公理集合论导引[M].（北京）科学出版社，1999-02-01：115.

作者简介：马祥虎，男，本科，讲师，主要研究方向为数学和物理学。