抽屉原理及其应用

摘要：抽屉原理是非常规解题方法的重要类型。本文着重从抽屉原理的本质出发，在不同的例题分析中归纳总结出构造抽屉的几类构造法。

关键词：抽屉原理；抽屉构造法；原理的应用

一、引言

话说《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是：齐景公名下有三名勇士，他们得罪宰相晏婴。晏婴便劝齐景公杀掉他们并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。三个骄傲自大的勇士都想争得第一位的荣誉，在评功中彼此抨击。最后争功失败的二位勇士自觉受辱，拔剑自刎，仅剩下来的一个勇士，亦因前两位的伙伴的死而愧疚地自杀了。宰相晏婴之所以可以不费吹灰之力地除掉自己的敌人，除了其抓住勇士们的虚荣心理与手足之情的矛盾之外，还在于其巧设出桃少人多的情景（即第二抽屉原理）。

抽屉原理，又叫鸽笼原理，是组合数学中貌似平凡的，却透着不平凡应用的原理之一，它是德国数学家狄利克雷（Divich let 1805-1855）首先发现的，因此又叫狄利克雷原理。它反映了整数最基本的性质，在数论和组合中有着广泛的应用，用它还可以解决生活中遇到的很多有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果。一般来说，抽屉原的三种形式表示如下：①第一抽屉原理（少的抽屉原理）：设有m个元素分属于n个集合（其两两的交集可以非空），且m>kn（m，n，k均为正整数），则必有一个集合中至少有k+1个元素。②第二抽屉原理（多的抽屉原理）：设有m个元素分属于n个两两不相交的集合，且m

二、例谈抽屉构造法

在数学学习中，抽屉原理应用比较广，常用于解决一些存在性问题，特别是对一些看起来相当复杂甚至无从下手的问题常能发挥独特作用。不过，熟练地运用抽屉原理，解决数学问题也并非易事，关键在于如何构造出合适的抽屉，构造抽屉的方法非常灵活，要运用到代数、几何、数论等多方面的知识。当然抽屉构造最基础的依据有两点：首先确定抽屉的个数；其次，明确抽屉具备的性质。现在我们就分割图形、分割区间、数的分组、数的排列、剩余类、染色分类方面来举例说明构造法在数学解题中的应用。

1.用分割几何图形构造抽屉

分割几何图形是常见的抽屉构造法之一，在涉及到一个几何图形内有若干点时，常常是把图形巧妙地分割成适当的部分，用分割所得的小图形作抽屉，这类抽屉相对较直观。这种分割一般符合一个“分划”的定义，即抽屉间的元素既互不重复也无遗漏，但有时根据解题需要，分割也可使得抽屉间含有公共元素。

例：边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明：必有三个点所构成的三角形的面积至多等于 1 8 分析：由9=2×4+1，则抽屉的个数应不大于4才有可能，四个抽屉中至少有一个抽屉有三个点，于是把原正方形按右图的方式分成四个面积都为 1 4 的小正方形，作为四个抽屉，

放入9个点，则至少三个点落在某一个小正方形内，当三个点在A、B、C位置时，S△ABC= 1 8 最大。

例：在边长为6的正三角形内任放21个点，证明可以用 一个直径为 3 的圆形纸片盖住其中三点。

分析：要证“直径为 3 的圆能盖住三点”这样，再构造抽屉时应当把三角形与圆结合起来。三角形与圆又联系的有三角形的外接圆。又外边为 3 2 的正三角形的外接圆直径恰为 3 ，故用直径为 3 的圆可以完全盖住一个边长为 3 2 的正三角形。当三角形的边长为3时，可将其划分成四个边长为 3 2 的正三角形并以三个直径为 3 的圆将其完全覆盖住（如图2.12-1）.依此可推出，边长为6的正三角形也可被十个直径为 3 的圆完全盖住（如图2.12-2）证明：把边长为6的正△ABC的每边四等分， 由各等分点作平行于正三角边的直线，把△ABC分割成16个边长为 3 2 的小正三角形，顶点朝上的小正三角形共有10个，作它们的外接圆，这10个外接圆正好把△ABC完全盖住。把10个直径为 3 的圆看作抽屉，由抽屉原理，存在一个小圆 至少盖住21个点中的[ 21 10 ]=3点。

注：利用这种构造法解题，关键在于分割的方法和分割得到的小圆形（抽屉）个数是否恰当，而与各个小图形的面积是否相同无关（如例2.12）。

2.利用“数的分组”构造抽屉

在解抽屉问题时常常要以分类的思想来分析，分类的对象可以是整数、区间、剩余类等。在确定了分类的“对象”后，因其个数太多，我们把这些“对象”按不同性质分成适当数量的组（即抽屉）后，才能应用抽屉原理。

例：从1，2，3，4…19，20这20个数中，任选12个不同的数，试说明：其中一定包括两个数，其差是10，也一定包括两个数，其差为11。

分析：①我们把这20个数做成如下10个抽屉，每个抽屉中的两个数之差为10：{1，11}、{2，12}、{3，13}、{4，14}…{10，20}。任取12个数，其中必有两个数取自同一抽屉，它们的差是10。②我们又把这20个数做成如下11个抽屉：{1，12}、{2，13}、{3，14}、{4，15}…{9，20}，{10}，{11}。其中，前九个抽屉中的某一个，它们的差是11，任取12个数，其中必有两个数取自前九个抽屉中的某一个，它们的差是11。

例：证明：在小于100的27个不同的奇自然数中，必定可找到两个数，它们的和等于102。

分析：小于100的奇数有1，3，5…99共50个数，现在要用它做成26个抽屉，而且至少有一抽屉不少于两个数，这两个数之和恰为102就解决了。

证明：设A1={1}，A2={3，99}，A3={5，97}...A25={49，53}，A26={51}，除A1，A26 外，A2，A3...A25每个抽屉均有和为102的两个奇数.由小于100的奇数中任取27个奇数，这27个奇数必取自这26个集合，依抽屉原理，至少有2个不同的奇数来源于同一抽屉，显然这个抽屉只能属于A2，A3...A25之一，这两个数之和等于102。

3.利用“排列”构造抽屉

排列与抽屉原理相结合是常见的题型，这类题目具有综合性，我们通常无法直接判断出分组的对象，但若根据具体的题目，分析其条件和结论，先求解出正确的排列结果，确定分组对象，那么抽屉原理的应用便是简单明了的。

例：20名运动员进行乒乓球比赛，每两名运动员都要比赛一场，每场比赛五局三胜（采取11分制）。全部比赛结束后所有各局比赛最高得分为15：13。那么至少有多少局的比分是相同的？

分析：20名运动员，每两名运动员都要比赛一场，根据乘法原理，一共赛了190（ 20×19 2 ）场，因为每场比赛至少三局，所一共至少比赛570（190×3）局，根据题目条件，乒乓球比赛的可能比分为11：0，11：1...（13：11），（14：12）（15：13）共计14种。把这14种情况看作14个抽屉，因为570>14×40，所以至少有41局的比分是相同的。

4.利用“分割区间”构造抽屉

一般地，在长度为d的区间内有多于n个的点，若把此区间n等分成n个子区间，则一定有两点在同一子区间内，且它们两点间的距离不大于 d n 。这个命题也是抽屉原理的简单应用，对于涉及到某一区间的若干个实数的存在性的问题的解答，很有用处.

例：对于n+1个不同的自然数，若每一数都小于2n，那么可以从中选取三个数，使其中两数之和等于第三数.

证明：把这n+1个自然数排成单调增序列：a0

5.利用“染色分类”构造抽屉

有些问题已经对条件进行了“染色”或者在解题过程中将问题条件“染色”，通过不同的颜色构造抽屉，可以直观地解决某些问题，染色的实质是对分类的一种形象描述，对数集、点集、区域、图形等染上颜色，可转化为利用抽屉原理来进行证明的题型。

例：在48×48的国际象棋盘上，不重叠地放着99个3×3的小棋盘，每个小棋盘，每个小棋盘恰好盖住了9个小方格，求证：至少还可以在大棋盘上放入一个3×3的小棋盘，与已放的99个小棋盘互不重叠

分析： 给每个3×3的小棋盘加个框，使之成为5×5的小棋盘；又将48×48的大棋盘最外面一层小正方形去掉，使之变成46×46的棋盘。若新的大棋盘中还有一个空格，则说明原来的大棋盘中还能放入一个3×3的小棋盘，考察48×48的棋盘中的第2，7，12，…47行与第2，7，12，…47列的公共部分，共100个小正方形方格，将这个100个小方格涂黑。由于每个5×5的小棋盘至多只能盖住一个黑格，故必然存在一个黑格，没有被99个5×5的小棋盘盖住。故以该黑格为中心，在原大棋盘上可以放入一个3×3的小棋盘，它不与其它任何一个3×3小棋盘重叠。

注： 少的抽屉原理用得较少，但往往很有效，用少的抽屉原理证明比直接证明说理更充分，文字更简洁。

6.利用“剩余类法”构造抽屉

设n>1是正整数，对于任何整数a，a被n除得的余数只有0、1…n-1这n种，一些整除问题，需要把整数按余数的多少分类构造抽屉。

例：任意n+1整数，证明其中至少有两个整数它们差被n整除

分析：任意的整数被n整除，则余数只有是0、1、2…、n-1这n种，把这n+1个整数分成n类，由抽屉原理至少两个数的余数属同一类，则这两个的差能被n整除。

例：任给7个不同的整数，求证：其中必有两个数其和或差是10的倍数。证明：设这7个整数为t1，t2，...t7，除以10后，它们的余数无非是0，1，2…9；①若这7个余数中有两个相同：设ti=10p+k，tj=10q+k（p，q为整数）则ti-tj=10（p-q），即ti-tj是10的倍数.②若这7个余数中任何两个数都不相同，设至少有一数被10除余数为6、7、8、9之一，若有余数为6的数，使之与余数为4的数配对；余数为7的数，使之与余数为3的数配对；余数为8的数与余数为2的数配对，余数为9的数与余数为1的数配对，7个不同的余数，除0，5以外，必含有其中一对，这一对数之和是10的倍数。

三、 抽屉原理在一道数学竞赛题上的应用

1.利用抽屉原理解数学竞赛题

例：平面上给定五点A、B、C、D、E，其中任何三点不在一直线上，试证：任意地用线段连结某些点（这些线段称为边），若所得到的图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形，则这个图形不可能有7条或更多条边。证明：用反证法，假设图形有7条或更多条边。构造抽屉如下：每个抽屉里有三个相异点，共可得C35=10个抽屉，又由于同一条边会在C13=3个抽屉里出现，则10个抽屉里共有7×3=21条或更多条边。由抽屉原理，知至少有一个抽屉里有3条边。恰好与其中不共线的相异三点构成一个三角形，而这与题设“图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形”相矛盾。故命题得证。

2.将数学竞赛题推广并证明

推广：平面上给定n个点，其中任何三点不共线，任意地用线段连结某些点（这些线段称为边）则确保图形中出现以给定点为顶点的三角形的条件是图形中边的条数x≥2C3n+1 C1n-2 即x≥n（n-1）（n-2）+3 3（n-2） 证明：构造抽屉：每个抽屉里有三个相异点，共可得C3n个抽屉，又由于同一条边会在C1n-2个抽屉里出现，根据抽屉原理，当x·C1n-2≥2C3n+1时，才能确保有一个抽屉里有3条边。而这3条边恰好与其中不共线的相异三点构成一个三角形。这就是说，确保图形中出现三角形的条件是其中的条数x≥2C3n+1 C1n-2 即x≥n（n-1）（n-2）+3 3（n-2）

小结：运用抽屉原理解题的一般方法，关键在于制造抽屉，从特征的结论中找出抽屉的规则造出合规则的所有抽屉，根据问题的特点，所造抽屉或者图形相同，性质相同；或图形不同，具有相同性质或元素不全相同，性质相同；或元素不相同，性质不全相同。总之，抽屉的形式多种多样，要依据问题的特点决定。

参考文献

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（作者单位：福建省泉州市永春县第七中学 362600）